Упр.46.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 46.19. Натуральные числа m и n таковы, что n^2?(m+n). Докажите, что m^3?(m+n).

Пусть $$n^2 \mid (m+n).$$ Тогда существует натуральное число $$k$$ такое, что

$$m+n=n^2k.$$

Тогда

$$m=n^2k-n=n(nk-1).$$

Следовательно, $$n \mid m$$, то есть $$m=nt$$ для некоторого натурального числа $$t$$.

Тогда

$$m+n=nt+n=n(t+1).$$

Из условия $$n^2 \mid (m+n)$$ получаем, что $$n^2 \mid n(t+1)$$, значит $$n \mid (t+1)$$. Пусть $$t+1=ns$$, тогда

$$m=n(ns-1).$$

Теперь рассмотрим выражение $$m^3$$:

$$m^3=n^3(ns-1)^3.$$

Так как $$m+n=n^2k$$, достаточно показать, что $$m^3$$ делится на $$n^2k$$. Но из равенства

$$m=n(nk-1)$$

получаем

$$m^3=n^3(nk-1)^3,$$

а значит, $$m^3$$ делится на $$n^3$$, следовательно, и на $$n^2k=m+n$$, поскольку $$m+n=n^2k$$.

Итак, $$m^3 \mid (m+n).$$

Ответ

$$m^3 \mid (m+n).$$