Упр.46.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 46.18. Числа х и у таковы, что (3x+10y)?13. Докажите, что (3x+10y)(3y+10x)?169.

Пусть $$3x+10y$$ делится на $$13$$. Тогда существует целое число $$k$$, такое что

$$3x+10y=13k.$$

Рассмотрим выражение

$$3y+10x.$$

Сложим данные выражения:

$$ (3x+10y)+(3y+10x)=13x+13y=13(x+y). $$

Значит, если $$3x+10y$$ кратно $$13$$, то и $$3y+10x$$ также кратно $$13$$. Следовательно, оба множителя делятся на $$13$$, а значит, их произведение делится на $$13^2=169$$:

$$ (3x+10y)(3y+10x)\vdots 169. $$

Ответ

$$\,(3x+10y)(3y+10x)\text{ делится на }169.$$