Упр.46.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 46.15. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях n > 1 значение выражения 1^n+2^n+3^n+…+99^n кратно 100.

Обозначим

$$S=1^n+2^n+3^n+\dots+99^n,$$

где $$n>1$$ — нечётное натуральное число.

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$S=(1^n+99^n)+(2^n+98^n)+\dots+(49^n+51^n)+50^n.$$

В каждой паре вынесем общий множитель:

$$S=(1+99)P_1+(2+98)P_2+\dots+(49+51)P_{49}+50^n,$$

где $$P_1,P_2,\dots,P_{49}$$ — некоторые целые числа.

Так как

$$1+99=2+98=\dots=49+51=100,$$

то

$$S=100(P_1+P_2+\dots+P_{49})+50^n.$$

При $$n>1$$ число $$50^n$$ делится на $$100$$, поскольку

$$50^n=50\cdot 50^{n-1}$$

и в произведении есть множитель $$50\cdot 50=2500$$, то есть как минимум два нуля на конце.

Следовательно, оба слагаемых в записи $$S$$ кратны $$100$$, значит и само число $$S$$ кратно $$100$$.

Ответ

$$1^n+2^n+3^n+\dots+99^n$$ кратно $$100$$ при любых нечётных натуральных $$n>1$$.