Упр.46.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) кратно 5; 2) не кратно 10.

Обозначим

$$S=1^n+2^n+3^n+\dots+9^n.$$

Так как $n$ — нечётное, сгруппируем слагаемые попарно:

$$S=(1^n+9^n)+(2^n+8^n)+(3^n+7^n)+(4^n+6^n)+5^n.$$

Для нечётного $n$ имеем:

$$9^n=(10-1)^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod{10},$$

$$8^n=(10-2)^n \equiv (-2)^n \equiv -2^n \pmod{10},$$

$$7^n \equiv -3^n \pmod{10}, \qquad 6^n \equiv -4^n \pmod{10}.$$

Значит, каждая пара даёт кратное $10$:

$$1^n+9^n \equiv 0 \pmod{10},$$

$$2^n+8^n \equiv 0 \pmod{10},$$

$$3^n+7^n \equiv 0 \pmod{10},$$

$$4^n+6^n \equiv 0 \pmod{10}.$$

Тогда

$$S=10k+5^n$$

для некоторого целого $k$.

1) Число $10k$ кратно $5$, и $5^n$ тоже кратно $5$, значит

$$S \text{ кратно } 5.$$

2) Число $10k$ оканчивается на $0$, а $5^n$ при любом натуральном $n$ оканчивается на $5$. Поэтому сумма $S$ оканчивается на $5$ и не может быть кратна $10$.

Ответ

1) Кратно $5$; 2) не кратно $10$.