Упр.46.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 46.13. Решите в целых числах уравнение 2xy+2x-3y-4=0.

Преобразуем уравнение:

$$2xy+2x-3y-4=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$2x(y+1)-3(y+1)=4$$

Вынесем общий множитель:

$$ (y+1)(2x-3)=4 $$

Так как требуется найти целые решения, рассмотрим разложения числа $$4$$ на целые множители:

$$4=1\cdot 4=2\cdot 2=(-1)\cdot(-4)=(-2)\cdot(-2)$$

Но выражение $$2x-3$$ всегда нечётное, значит оно может принимать только нечётные делители числа $$4$$, то есть $$\pm 1$$.

1) Если $$2x-3=1$$, то

$$2x=4,\quad x=2$$

Тогда

$$y+1=4,\quad y=3$$

Получаем решение $$ (2; 3) $$.

2) Если $$2x-3=-1$$, то

$$2x=2,\quad x=1$$

Тогда

$$y+1=-4,\quad y=-5$$

Получаем решение $$ (1; -5) $$.

Проверим подстановкой:

$$2\cdot 2\cdot 3+2\cdot 2-3\cdot 3-4=12+4-9-4=3\neq 0$$

Значит, при преобразовании допущена ошибка. Вернёмся к исходному уравнению и правильно сгруппируем:

$$2xy+2x-3y-4=0$$

$$2x(y+1)- (3y+4)=0$$

Представим $$3y+4$$ как $$3(y+1)+1$$:

$$2x(y+1)-3(y+1)-1=0$$

$$ (y+1)(2x-3)=1 $$

Теперь произведение двух целых чисел равно $$1$$, значит возможны только два случая:

1) $$y+1=1,\quad 2x-3=1$$

$$y=0,\quad 2x=4,\quad x=2$$

2) $$y+1=-1,\quad 2x-3=-1$$

$$y=-2,\quad 2x=2,\quad x=1$$

Оба решения подходят.

Ответ

$$(2; 0),\ (1; -2)$$