Упр.46.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) x^2-4y^2=5; 3) x^2-3xy+3y-x=10;
2) y^2+3xy=15+y; 4) 2y^2-xy-x^2=2.

Подробный ответ

$$x^2-4y^2=5$$
Разложим на множители:
$$x^2-(2y)^2=(x-2y)(x+2y)=5.$$
Так как числа целые, то возможны только разложения числа $$5$$ на целые множители:
$$1\cdot 5,\quad 5\cdot 1,\quad (-1)\cdot(-5),\quad (-5)\cdot(-1).$$
Решаем системы:
$$ \begin{cases} x-2y=1,\\ x+2y=5 \end{cases} \Rightarrow x=3,\ y=1; $$
$$ \begin{cases} x-2y=5,\\ x+2y=1 \end{cases} \Rightarrow x=3,\ y=-1; $$
$$ \begin{cases} x-2y=-1,\\ x+2y=-5 \end{cases} \Rightarrow x=-3,\ y=-1; $$
$$ \begin{cases} x-2y=-5,\\ x+2y=-1 \end{cases} \Rightarrow x=-3,\ y=1. $$
$$y^2+3xy=15+y$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$y^2+3xy-y-15=0.$$
Сгруппируем:
$$y(y+3x-1)=15.$$
Так как $$y$$ и $$y+3x-1$$ — целые числа, перебираем делители числа $$15$$:
$$ \begin{cases} y=1,\\ y+3x-1=15 \end{cases} \Rightarrow x=5; $$
$$ \begin{cases} y=3,\\ y+3x-1=5 \end{cases} \Rightarrow x=1; $$
$$ \begin{cases} y=5,\\ y+3x-1=3 \end{cases} \Rightarrow x=-\frac13 \notin \mathbb Z; $$
$$ \begin{cases} y=15,\\ y+3x-1=1 \end{cases} \Rightarrow x=-\frac{13}{3} \notin \mathbb Z. $$
Аналогично для отрицательных делителей получаем ещё:
$$ (x,y)=(1,-5),\ (5,-15). $$
$$x^2-3xy+3y-x=10$$
Сгруппируем:
$$x^2-x-3xy+3y=10,$$
$$x(x-1)-3y(x-1)=10,$$
$$ (x-1)(x-3y)=10.$$
Перебираем целые разложения числа $$10$$:
$$1\cdot 10,\ 2\cdot 5,\ 5\cdot 2,\ 10\cdot 1,\ (-1)\cdot(-10),\ (-2)\cdot(-5),\ (-5)\cdot(-2),\ (-10)\cdot(-1).$$
Во всех случаях из системы
$$ \begin{cases} x-1=a,\\ x-3y=b, \end{cases} \qquad ab=10 $$
получается, что $$y$$ не является целым числом. Следовательно, целых решений нет.
$$2y^2-xy-x^2=2$$
Разложим на множители:
$$2y^2-xy-x^2=(x+2y)(y-x).$$
Тогда
$$ (x+2y)(y-x)=2.$$
Перебираем делители числа $$2$$:
$$1\cdot 2,\ 2\cdot 1,\ (-1)\cdot(-2),\ (-2)\cdot(-1).$$
1) $$\begin{cases} y-x=1,\\ x+2y=2 \end{cases} \Rightarrow y=x+1,\ x+2(x+1)=2,\ x=0,\ y=1.$$
2) $$\begin{cases} y-x=2,\\ x+2y=1 \end{cases} \Rightarrow y=x+2,\ x+2(x+2)=1,\ x=-1,\ y=1.$$
3) $$\begin{cases} y-x=-1,\\ x+2y=-2 \end{cases} \Rightarrow y=x-1,\ x+2(x-1)=-2,\ x=0,\ y=-1.$$
4) $$\begin{cases} y-x=-2,\\ x+2y=-1 \end{cases} \Rightarrow y=x-2,\ x+2(x-2)=-1,\ x=1,\ y=-1.$$