Упр.45 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 45. Решите неравенство v(1-x^2)+v(4-x^2) < 2.

Обозначим

$$a=\sqrt{1-x^2}, \qquad b=\sqrt{4-x^2}.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$a+b<2.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$a^2+2ab+b^2<4.$$

Подставим выражения для $a^2$ и $b^2$:

$$1-x^2+2\sqrt{(1-x^2)(4-x^2)}+4-x^2<4.$$

Получаем

$$2\sqrt{(1-x^2)(4-x^2)}<2x^2-1.$$

Правая часть должна быть неотрицательной, значит

$$2x^2-1>0, \qquad x^2>\frac12.$$

Теперь можно возвести неравенство в квадрат:

$$4(1-x^2)(4-x^2)<(2x^2-1)^2.$$

Раскроем скобки:

$$4(4-5x^2+x^4)<4x^4-4x^2+1,$$

$$16-20x^2+4x^4<4x^4-4x^2+1,$$

$$16x^2>15,$$

$$x^2>\frac{15}{16}, \qquad |x|>\frac{\sqrt{15}}{4}.$$

Проверим область определения:

$$1-x^2\ge 0 \Rightarrow |x|\le 1,$$

$$4-x^2\ge 0 \Rightarrow |x|\le 2.$$

С учётом ОДЗ и найденного условия получаем

$$\frac{\sqrt{15}}{4}<|x|\le 1.$$

Значит, решение неравенства:

$$x\in\left[-1;-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)\cup\left(\frac{\sqrt{15}}{4};1\right].$$

Ответ

$$\left[-1;-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)\cup\left(\frac{\sqrt{15}}{4};1\right].$$