Упр.45.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=x+1/x^2;
2) f(x)=(x^2-2x+2)/(x-1);
3) f(x)=(x^3-4)/(x-1)^3.

Подробный ответ

$$f(x)=x+\frac{1}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0,$$ значит $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Найдём наклонную асимптоту:
$$ k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x^3}\right)=1, $$
$$ b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-kx) =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0. $$
Следовательно, асимптота: $$y=x.$$
Исследуем монотонность:
$$ f'(x)=1-\frac{2}{x^3}=\frac{x^3-2}{x^3}. $$
Критическая точка: $$x=\sqrt[3]{2}.$$
При $$x<0$$ производная положительна, при $$0<x<\sqrt[3]{2}$$ отрицательна, при $$x>\sqrt[3]{2}$$ положительна. Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup[\sqrt[3]{2};+\infty),$$ убывает на $$(0;\sqrt[3]{2}].$$
Минимум:
$$ f(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}+\frac{1}{(\sqrt[3]{2})^2} =\sqrt[3]{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{4}} =\frac{3}{\sqrt[3]{4}}. $$
График состоит из двух ветвей, имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$ и наклонную асимптоту $$y=x.$$
$$f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$$
Область определения: $$x\ne 1,$$ значит $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
Разделим многочлены:
$$ \frac{x^2-2x+2}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}. $$
Отсюда наклонная асимптота: $$y=x-1.$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=1-\frac{1}{(x-1)^2} =\frac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2} =\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}. $$
Так как $$ (x-1)^2>0 $$ при $$x\ne 1,$$ знак производной определяется выражением $$x(x-2).$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$[0;1)\cup(1;2].$$
Экстремумы:
$$ f(0)=\frac{2}{-1}=-2 \quad \Rightarrow \quad x_{\max}=0,\; f(0)=-2; $$
$$ f(2)=\frac{4-4+2}{1}=2 \quad \Rightarrow \quad x_{\min}=2,\; f(2)=2. $$
График имеет вертикальную асимптоту $$x=1$$ и наклонную асимптоту $$y=x-1.$$
$$f(x)=\frac{x^3-4}{(x-1)^3}$$
Область определения: $$x\ne 1,$$ значит $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
Найдём поведение при больших $$x$$:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=1. $$
Следовательно, горизонтальная асимптота: $$y=1.$$
Исследуем производную:
$$ f'(x)=\frac{3x^2(x-1)^3-3(x-1)^2(x^3-4)}{(x-1)^6} =\frac{3(x-1)^2\bigl(x^2(x-1)-(x^3-4)\bigr)}{(x-1)^6}. $$
После упрощения получаем:
$$ f'(x)=\frac{3(x^2-4)}{(x-1)^4}. $$
Так как $$ (x-1)^4>0 $$ при $$x\ne 1,$$ знак производной определяется выражением $$x^2-4.$$
Функция возрастает на $$[-2;1)\cup(1;2],$$ убывает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$
Экстремумы:
$$ f(-2)=\frac{-8-4}{(-2-1)^3}=\frac{-12}{-27}=\frac{4}{9}, $$
$$ f(2)=\frac{8-4}{(2-1)^3}=4. $$
График имеет вертикальную асимптоту $$x=1$$ и горизонтальную асимптоту $$y=1.$$