Упр.45.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=x+1/x; 3) f(x)=x^3/(x^2-4);
2) f(x)=(x^2+3x)/(x-1); 4) f(x)=(x^4-8)/(x+1)^4.
1) $$f(x)=x+\frac{1}{x}$$
Область определения: $$x\neq 0,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-x-\frac{1}{x}=-f(x).$$
Найдём асимптоты:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=1,$$
$$\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-x\bigr)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0,$$
значит, наклонная асимптота: $$y=x.$$
Производная:
$$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x^2-1\ge 0 \iff x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;0)\cup(0;1].$$
Экстремумы:
$$f(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2,$$
$$f(1)=1+\frac{1}{1}=2.$$
2) $$f(x)=\frac{x^2+3x}{x-1}$$
Область определения: $$x\neq 1,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
Найдём асимптоты:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x+3}{x-1}=1,$$
$$\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-x\bigr)=\lim_{x\to\infty}\frac{4x}{x-1}=4,$$
значит, наклонная асимптота: $$y=x+4.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{(2x+3)(x-1)-(x^2+3x)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}.$$
Так как знаменатель положителен при $$x\neq 1,$$ то
$$f'(x)\ge 0 \iff (x+1)(x-3)\ge 0 \iff x\le -1 \text{ или } x\ge 3.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1)\cup(1;3].$$
Экстремумы:
$$f(-1)=\frac{1-3}{-1-1}=1,$$
$$f(3)=\frac{9+9}{3-1}=9.$$
3) $$f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$$
Область определения: $$x^2-4\neq 0,$$ значит $$x\neq -2,\; x\neq 2,$$
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
Функция нечётная:
$$f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2-4}=-\frac{x^3}{x^2-4}=-f(x).$$
Найдём асимптоты:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2-4}=1,$$
$$\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-x\bigr)=\lim_{x\to\infty}\frac{4x}{x^2-4}=0,$$
значит, наклонная асимптота: $$y=x.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{3x^2(x^2-4)-2x\cdot x^3}{(x^2-4)^2}=\frac{x^2(x^2-12)}{(x^2-4)^2}.$$
Так как знаменатель положителен, то
$$f'(x)\ge 0 \iff x^2(x^2-12)\ge 0 \iff x\le -2\sqrt3 \text{ или } x\ge 2\sqrt3.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2\sqrt3]\cup[2\sqrt3;+\infty),$$ убывает на $$[-2\sqrt3;-2)\cup(-2;2)\cup(2;2\sqrt3].$$
Экстремумы:
$$f(-2\sqrt3)=\frac{(-2\sqrt3)^3}{(-2\sqrt3)^2-4}=-\frac{3\sqrt3}{2},$$
$$f(2\sqrt3)=\frac{(2\sqrt3)^3}{(2\sqrt3)^2-4}=\frac{3\sqrt3}{2}.$$
4) $$f(x)=\frac{x^4-8}{(x+1)^4}$$
Область определения: $$x\neq -1,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
Найдём асимптоту:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^4-8}{(x+1)^4}=1,$$
значит, горизонтальная асимптота: $$y=1.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{4x^3(x+1)^4-4(x+1)^3(x^4-8)}{(x+1)^8}$$
$$=\frac{4(x+1)^3\bigl(x^3(x+1)-(x^4-8)\bigr)}{(x+1)^8}=\frac{4(x+1)^3(x^3+8)}{(x+1)^8}.$$
Так как $$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4),$$ а $$x^2-2x+4>0,$$ то знак производной определяется выражением $$\frac{x+2}{x+1}.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup(-1;+\infty),$$ убывает на $$[-2;-1).$$
Экстремум:
$$f(-2)=\frac{16-8}{(-1)^4}=8.$$
Ответ
1) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$ асимптота $$y=x,$$ возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;0)\cup(0;1].$$
2) $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),$$ асимптота $$y=x+4,$$ возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1)\cup(1;3].$$
3) $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty),$$ асимптота $$y=x,$$ возрастает на $$(-\infty;-2\sqrt3]\cup[2\sqrt3;+\infty),$$ убывает на $$[-2\sqrt3;-2)\cup(-2;2)\cup(2;2\sqrt3].$$
4) $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty),$$ асимптота $$y=1,$$ возрастает на $$(-\infty;-2]\cup(-1;+\infty),$$ убывает на $$[-2;-1).$$
