Упр.45.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Постройте график функции:
- 1) $$f(x)=x+\frac{1}{x}$$; 3) $$f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$$; 2) $$f(x)=\frac{x^2+3x}{x-1}$$; 4) $$f(x)=\frac{x^4-8}{(x+1)^4}$$.
1) $$f(x)=x+\frac{1}{x}$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-x-\frac{1}{x}=-f(x).$$
Найдём асимптоту при $$x\to\infty$$:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=1,$$
значит, наклонная асимптота: $$y=x.$$
Производная:
$$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ то
$$f'(x)\ge 0 \iff x^2-1\ge 0 \iff x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;0)\cup(0;1].$$
$$f(-1)=-1-1=-2,\qquad f(1)=1+1=2.$$
Значит, в точке $$x=-1$$ — максимум, в точке $$x=1$$ — минимум.
2) $$f(x)=\frac{x^2+3x}{x-1}$$
Область определения: $$x\ne 1,\quad D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
Выполним деление многочленов:
$$\frac{x^2+3x}{x-1}=x+4+\frac{4}{x-1}.$$
Отсюда наклонная асимптота: $$y=x+4.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{(2x+3)(x-1)-(x^2+3x)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}.$$
Так как знаменатель положителен при $$x\ne 1,$$ то
$$f'(x)\ge 0 \iff (x+1)(x-3)\ge 0 \iff x\le -1 \text{ или } x\ge 3.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1)\cup(1;3].$$
$$f(-1)=\frac{1-3}{-2}=1,\qquad f(3)=\frac{9+9}{2}=9.$$
Значит, в точке $$x=-1$$ — максимум, в точке $$x=3$$ — минимум.
3) $$f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$$
Область определения: $$x^2-4\ne 0,\quad x\ne -2,\ x\ne 2,$$ то есть
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
Функция нечётная:
$$f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2-4}=-\frac{x^3}{x^2-4}=-f(x).$$
Наклонная асимптота при $$x\to\infty$$:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2-4}=1,$$
значит, $$y=x.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{3x^2(x^2-4)-2x\cdot x^3}{(x^2-4)^2}=\frac{x^2(x^2-12)}{(x^2-4)^2}.$$
Так как знаменатель положителен при $$x\ne \pm 2,$$ то
$$f'(x)\ge 0 \iff x^2(x^2-12)\ge 0 \iff x\le -2\sqrt{3} \text{ или } x\ge 2\sqrt{3}.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2\sqrt{3}]\cup[2\sqrt{3};+\infty),$$ убывает на $$[-2\sqrt{3};-2)\cup(-2;2)\cup(2;2\sqrt{3}].$$
$$f(-2\sqrt{3})=\frac{(-2\sqrt{3})^3}{(2\sqrt{3})^2-4}=-\frac{3\sqrt{12}}{2},\qquad f(2\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{12}}{2}.$$
4) $$f(x)=\frac{x^4-8}{(x+1)^4}$$
Область определения: $$x\ne -1,\quad D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
При $$x\to\infty$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^4-8}{(x+1)^4}=1,$$
поэтому горизонтальная асимптота: $$y=1.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{4x^3(x+1)^4-4(x+1)^3(x^4-8)}{(x+1)^8}.$$
Упростим числитель:
$$f'(x)=\frac{4(x+1)^3\bigl(x^3(x+1)-(x^4-8)\bigr)}{(x+1)^8} =\frac{4(x+1)^3(x^3+8)}{(x+1)^8} =\frac{4(x^3+8)}{(x+1)^5}.$$
Так как $$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4),$$ а $$x^2-2x+4>0,$$ то знак производной определяется выражением
$$\frac{x+2}{x+1}.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup(-1;+\infty),$$ убывает на $$[-2;-1).$$
$$f(-2)=\frac{16-8}{(-1)^4}=8.$$
Значит, в точке $$x=-2$$ — максимум.
