Упр.45.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 45.6. Постройте график функции f(x)=-x^2(x^2-4) и определите, пользуясь им, количество корней уравнения f(x)=a в зависимости от значения параметра а.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=-x^2(x^2-4)=-x^4+4x^2.$$

Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Нули функции найдём из уравнения

$$-x^2(x^2-4)=0,$$

откуда

$$x=0,\quad x=\pm 2.$$

Функция чётная, так как

$$f(-x)=-(-x)^2\bigl(( -x)^2-4\bigr)=-x^2(x^2-4)=f(x).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-4x^3+8x=-4x(x^2-2).$$

Критические точки:

$$x=0,\quad x=\pm \sqrt2.$$

Знаки производной дают:

$$f(x)\ \text{возрастает на}\ (-\infty;-\sqrt2]\cup[0;\sqrt2],$$

$$f(x)\ \text{убывает на}\ [-\sqrt2;0]\cup[\sqrt2;+\infty).$$

Значения в точках экстремума:

$$f(-\sqrt2)=-2(2-4)=4,$$

$$f(\sqrt2)=-2(2-4)=4,$$

$$f(0)=0.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$4,$$ а наименьшего нет, так как при $$|x|\to\infty$$ имеем $$f(x)\to-\infty.$$

По графику функции определяем число решений уравнения $$f(x)=a$$:

• если $$a>4,$$ корней нет;
• если $$a=4,$$ два корня;
• если $$0<a<4,$$ четыре корня;
• если $$a=0,$$ три корня;
• если $$a<0,$$ два корня.

Ответ

$$\begin{cases} 0, & a>4,\\ 2, & a=4,\\ 4, & 0<a<4,\\ 3, & a=0,\\ 2, & a<0. \end{cases}$$