Упр.45.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции $$f(x)=x^2(2x-3)$$ и определите, пользуясь им, количество корней уравнения $$f(x)=a$$ в зависимости от значения параметра $$a$$.

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2(2x-3).$$

Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Найдём нули функции:

$$x^2(2x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=0 \text{ или } x=\frac32.$$

Исследуем монотонность:

$$f'(x)=2x(2x-3)+2x^2=6x^2-6x=6x(x-1).$$

Тогда

$$f'(x)>0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } 0<x<1.$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0] \cup [1;+\infty),$$ убывает на $$[0;1].$$

Найдём экстремумы:

$$f(0)=0,\qquad f(1)=1\cdot(2-3)=-1.$$

Следовательно, наибольшее значение на промежутке убывания равно $$0,$$ а наименьшее значение функции равно $$-1.$$

По графику получаем количество решений уравнения $$f(x)=a$$:

• если $$a<-1$$ или $$a>0,$$ то уравнение имеет один корень;
• если $$a=-1$$ или $$a=0,$$ то уравнение имеет два корня;
• если $$-1<a<0,$$ то уравнение имеет три корня.

Ответ

если $$a<-1$$ или $$a>0,$$ то 1 корень; если $$a=-1$$ или $$a=0,$$ то 2 корня; если $$-1<a<0,$$ то 3 корня.