Упр.45.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 45.5. Постройте график функции f(x)=x^2(2x-3) и определите, пользуясь им, количество корней уравнения f(x)=a в зависимости от значения параметра а.

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2(2x-3).$$

Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Найдём нули функции:

$$x^2(2x-3)=0,$$

откуда

$$x=0,\quad x=\frac32.$$

Исследуем монотонность. Производная:

$$f'(x)=2x(2x-3)+2x^2=6x^2-6x=6x(x-1).$$

Тогда

$$f'(x)>0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>1,$$

$$f'(x)<0 \text{ при } 0<x<1.$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty),$$ убывает на $$[0;1].$$

Найдём значения в точках экстремума:

$$f(0)=0,$$

$$f(1)=1^2(2\cdot1-3)=-1.$$

Следовательно, у функции есть локальный максимум $$0$$ и локальный минимум $$-1.$$ Поэтому горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает график:

• один раз, если $$a<-1$$ или $$a>0$$;
• два раза, если $$a=-1$$ или $$a=0$$;
• три раза, если $$-1<a<0.$$

Ответ

Если $$a<-1$$ или $$a>0,$$ то корень один; если $$a=-1$$ или $$a=0,$$ то корней два; если $$-1<a<0,$$ то корней три.