Упр.45.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Постройте график функции: 1) $$f(x)=\frac{x-3}{x-1}$$; 3) $$f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$$; 5) $$f(x)=\frac{3x}{x^2-9}$$; 2) $$f(x)=\frac{1}{x^2-2x}$$; 4) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$; 6) $$f(x)=\frac{2x}{(x+1)^2}$$.
1) $$f(x)=\frac{x-3}{x-1}$$
$$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-3}{x-1}=1,$$ значит, горизонтальная асимптота: $$y=1.$$
Нуль функции: $$x-3=0,\quad x=3.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{(x-1)-(x-3)}{(x-1)^2}=\frac{2}{(x-1)^2}>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1)$$ и $$(1;+\infty).$$
2) $$f(x)=\frac{1}{x^2-2x}$$
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$$
Вертикальные асимптоты: $$x=0$$ и $$x=2.$$
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2-2x}=0,$$ значит, горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
Производная:
$$f'(x)=-\frac{2x-2}{(x^2-2x)^2}=-\frac{2(x-1)}{(x^2-2x)^2}.$$
Так как знаменатель положителен, то:
$$f'(x)>0 \text{ при } x<1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>1.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;1],$$ убывает на $$[1;2)$$ и $$(2;+\infty).$$
Точка максимума: $$x=1,\quad f(1)=\frac{1}{1-2}=-1.$$
3) $$f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$$
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
Вертикальные асимптоты: $$x=-1$$ и $$x=1.$$
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+x^2}{1-x^2}=-1,$$ значит, горизонтальная асимптота: $$y=-1.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{2x(1-x^2)+2x(1+x^2)}{(1-x^2)^2}=\frac{4x}{(1-x^2)^2}.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(-1;0),$$ возрастает на $$[0;1)$$ и $$(1;+\infty).$$
Минимум: $$x=0,\quad f(0)=1.$$
4) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2+1}=0,$$ значит, горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
Производная:
$$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}.$$
Тогда функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$
Максимум: $$x=0,\quad f(0)=1.$$
5) $$f(x)=\frac{3x}{x^2-9}$$
$$D(f)=(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty).$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x).$$
Вертикальные асимптоты: $$x=-3$$ и $$x=3.$$
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x}{x^2-9}=0,$$ значит, горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
Нуль функции: $$3x=0,\quad x=0.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{3(x^2-9)-6x^2}{(x^2-9)^2}=-\frac{3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}<0.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-3),$$ $$(-3;3)$$ и $$(3;+\infty).$$
6) $$f(x)=\frac{2x}{(x+1)^2}$$
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
Вертикальная асимптота: $$x=-1.$$
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x}{(x+1)^2}=0,$$ значит, горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
Нуль функции: $$2x=0,\quad x=0.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{2(x+1)^2-2x\cdot2(x+1)}{(x+1)^4}=\frac{2(1-x)}{(x+1)^3}.$$
Отсюда функция возрастает на $$(-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$[1;+\infty).$$
Максимум: $$x=1,\quad f(1)=\frac{2}{4}=\frac12.$$
