Упр.45.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=(x-3)/(x-1); 3) f(x)=(1+x^2)/(1-x^2); 5) f(x)=3x/(x^2-9);
2) f(x)=1/(x^2-2x); 4) f(x)=1/(x^2+1); 6) f(x)=2x/(x+1)^2.

Подробный ответ

$$f(x)=\frac{x-3}{x-1}$$
$$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$
$$\frac{x-3}{x-1}=1-\frac{2}{x-1}$$
Значит, график — гипербола с асимптотами $$x=1$$ и $$y=1$$.
$$x-3=0 \Rightarrow x=3,\quad f(3)=0$$
$$f'(x)=\frac{(x-1)-(x-3)}{(x-1)^2}=\frac{2}{(x-1)^2}>0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;1)$$ и $$ (1;+\infty).$$
$$f(x)=\frac{1}{x^2-2x}=\frac{1}{x(x-2)}$$
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$$
Вертикальные асимптоты: $$x=0$$ и $$x=2$$, горизонтальная асимптота: $$y=0$$.
$$f'(x)=\frac{-(2x-2)}{(x^2-2x)^2}=-\frac{2(x-1)}{(x^2-2x)^2}$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;1],$$ убывает на $$[1;2)$$ и $$ (2;+\infty).$$
$$f(1)=\frac{1}{1-2}=-1$$
$$f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$$
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
$$f(x)=-1+\frac{2}{1-x^2}$$
Значит, горизонтальная асимптота: $$y=-1$$, вертикальные асимптоты: $$x=-1$$ и $$x=1$$.
$$f'(x)=\frac{2x(1-x^2)+2x(1+x^2)}{(1-x^2)^2}=\frac{4x}{(1-x^2)^2}$$
Отсюда функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(-1;0),$$ возрастает на $$[0;1)$$ и $$ (1;+\infty).$$
$$f(0)=1$$
$$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
Функция чётная: $$f(-x)=f(x).$$
$$f'(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$
$$f(0)=1$$
При $$x\to\pm\infty$$ имеем $$f(x)\to 0,$$ значит, горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
$$f(x)=\frac{3x}{x^2-9}=\frac{3x}{(x-3)(x+3)}$$
$$D(f)=(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty)$$
Функция нечётная: $$f(-x)=-f(x).$$
Вертикальные асимптоты: $$x=-3$$ и $$x=3$$, горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
$$f'(x)=\frac{3(x^2-9)-6x^2}{(x^2-9)^2}=-\frac{3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}<0$$
Значит, функция убывает на каждом промежутке области определения.
$$f(0)=0$$
$$f(x)=\frac{2x}{(x+1)^2}$$
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$
$$f'(x)=\frac{2(x+1)^2-2x\cdot 2(x+1)}{(x+1)^4}=\frac{2(1-x)}{(x+1)^3}$$
Отсюда функция возрастает на $$(-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$[1;+\infty).$$
$$f(1)=\frac{2}{4}=\frac12$$
При $$x\to\pm\infty$$ имеем $$f(x)\to 0,$$ значит, горизонтальная асимптота: $$y=0.$$