Упр.45.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=(4-x)/(x+2); 4) f(x)=(x^2-9)/(x^2-4); 7) f(x)=2(x-1)/x^2;
2) f(x)=2/(x^2-1); 5) f(x)=x/(4-x^2); 8) f(x)=(x^2+4)/(x^2-4).
3) f(x)=(6x-6)/(x^2+3); 6) f(x)=-2x/(x^2+1);
$$f(x)=\frac{4-x}{x+2}$$
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{4-x}{x+2}=-1$$
$$\frac{4-x}{x+2}=0,\quad x=4$$
$$f'(x)=\frac{-(x+2)-(4-x)}{(x+2)^2}=\frac{-6}{(x+2)^2}<0$$
Функция убывает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$.
$$f(x)=\frac{2}{x^2-1}$$
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^2-1}=0$$
$$f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0]$$, убывает на $$[0;1)\cup(1;+\infty)$$.
$$f(0)=-2$$
$$f(x)=\frac{6x-6}{x^2+3}$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{6x-6}{x^2+3}=0$$
$$6x-6=0,\quad x=1$$
$$f'(x)=\frac{6(x^2+3)-2x(6x-6)}{(x^2+3)^2}=\frac{-6x^2+12x+18}{(x^2+3)^2}$$
$$-6x^2+12x+18\ge 0$$
$$x^2-2x-3\le 0,\quad (x+1)(x-3)\le 0$$
Функция возрастает на $$[-1;3]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$.
$$f(-1)=-3,\quad f(3)=1$$
$$f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$$
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-9}{x^2-4}=1$$
$$x^2-9=0,\quad x=\pm 3$$
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-2x(x^2-9)}{(x^2-4)^2}=\frac{10x}{(x^2-4)^2}$$
Функция возрастает на $$[0;2)\cup(2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0]$$.
$$f(0)=\frac{9}{4}$$
$$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x)$$.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{4-x^2}=0$$
$$x=0$$
$$f'(x)=\frac{(4-x^2)+2x^2}{(4-x^2)^2}=\frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}>0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$.
$$f(x)=-\frac{2x}{x^2+1}$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x)$$.
$$\lim_{x\to\infty}-\frac{2x}{x^2+1}=0$$
$$x=0$$
$$f'(x)=\frac{-2(x^2+1)+4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2-2}{(x^2+1)^2}$$
$$2x^2-2\ge 0,\quad x^2-1\ge 0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;1]$$.
$$f(-1)=1,\quad f(1)=-1$$
$$f(x)=\frac{2(x-1)}{x^2}$$
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2(x-1)}{x^2}=0$$
$$x-1=0,\quad x=1$$
$$f'(x)=\frac{2x^2-4x(x-1)}{x^4}=\frac{2x(2-x)}{x^4}$$
Функция возрастает на $$[0;2]$$, убывает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty)$$.
$$f(2)=\frac{1}{2}$$
$$f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-4}$$
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+4}{x^2-4}=1$$
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-2x(x^2+4)}{(x^2-4)^2}=\frac{-16x}{(x^2-4)^2}$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0]$$, убывает на $$[0;2)\cup(2;+\infty)$$.
$$f(0)=-1$$
Ответ
1) $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$, функция убывает на всей области определения, асимптота $$y=-1$$.
2) $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$, функция чётная, $$f(0)=-2$$.
3) $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, функция возрастает на $$[-1;3]$$, $$f(-1)=-3,\ f(3)=1$$.
4) $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$$, функция чётная, $$f(0)=\frac{9}{4}$$, асимптота $$y=1$$.
5) $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$, функция нечётная.
6) $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, функция нечётная, $$f(-1)=1,\ f(1)=-1$$.
7) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$, $$f(2)=\frac{1}{2}$$.
8) $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$$, функция чётная, $$f(0)=-1$$.
