Упр.45.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Постройте график функции: 1) $$f(x)=\frac{4-x}{x+2}$$; 2) $$f(x)=\frac{2}{x^2-1}$$; 3) $$f(x)=\frac{6x-6}{x^2+3}$$; 4) $$f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$$; 5) $$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$; 6) $$f(x)=\frac{-2x}{x^2+1}$$; 7) $$f(x)=\frac{2(x-1)}{x^2}$$; 8) $$f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-4}$$.
1) $$f(x)=\frac{4-x}{x+2}$$
Область определения: $$x\neq -2,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
Нуль функции: $$4-x=0,\quad x=4.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{-(x+2)-(4-x)}{(x+2)^2}=\frac{-6}{(x+2)^2}<0.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
При $$x\to\pm\infty$$ имеем $$f(x)\to -1,$$ поэтому горизонтальная асимптота: $$y=-1.$$
2) $$f(x)=\frac{2}{x^2-1}$$
Область определения: $$x^2-1\neq 0,\quad x\neq \pm1,$$ значит $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}.$$
Следовательно, функция возрастает при $$x<0$$ и убывает при $$x>0,$$ то есть возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0]$$ и убывает на $$[0;1)\cup(1;+\infty).$$
Максимум: $$f(0)=\frac{2}{-1}=-2.$$
При $$x\to\pm\infty$$ имеем $$f(x)\to 0,$$ значит горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
3) $$f(x)=\frac{6x-6}{x^2+3}$$
Область определения: $$x^2+3>0$$ при всех $$x,$$ значит $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Нуль функции: $$6x-6=0,\quad x=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{6(x^2+3)-2x(6x-6)}{(x^2+3)^2}=\frac{-6x^2+12x+18}{(x^2+3)^2}.$$
Решим неравенство:
$$-6x^2+12x+18\ge 0$$
$$x^2-2x-3\le 0$$
$$(x+1)(x-3)\le 0.$$
Значит, функция возрастает на $$[-1;3]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).$$
$$f(-1)=-3,\qquad f(3)=1.$$
4) $$f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$$
Область определения: $$x^2-4\neq 0,\quad x\neq \pm2,$$ значит $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
Функция чётная: $$f(-x)=f(x).$$
Нули функции: $$x^2-9=0,\quad x=\pm3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-2x(x^2-9)}{(x^2-4)^2}=\frac{10x}{(x^2-4)^2}.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0]$$ и возрастает на $$[0;2)\cup(2;+\infty).$$
Минимум: $$f(0)=\frac{-9}{-4}=\frac{9}{4}.$$
5) $$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$
Область определения: $$4-x^2\neq 0,\quad x\neq \pm2,$$ значит $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
Функция нечётная: $$f(-x)=-f(x).$$
Нуль функции: $$x=0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(4-x^2)+2x^2}{(4-x^2)^2}=\frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}>0.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
6) $$f(x)=-\frac{2x}{x^2+1}$$
Область определения: $$x^2+1\neq 0,$$ значит $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция нечётная: $$f(-x)=-f(x).$$
Нуль функции: $$x=0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{-2(x^2+1)+4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}.$$
Тогда функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;1].$$
$$f(-1)=1,\qquad f(1)=-1.$$
7) $$f(x)=\frac{2(x-1)}{x^2}$$
Область определения: $$x\neq 0,$$ значит $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Нуль функции: $$x=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2x^2-4x(x-1)}{x^4}=\frac{2(2-x)}{x^3}.$$
Отсюда функция возрастает на $$[0;2]$$ не может быть записано из-за разрыва, поэтому по промежуткам:
возрастает на $$(-\infty;0)\cup(0;2],$$ убывает на $$[2;+\infty).$$
Максимум: $$f(2)=\frac{2\cdot 1}{4}=\frac12.$$
8) $$f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-4}$$
Область определения: $$x^2-4\neq 0,\quad x\neq \pm2,$$ значит $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
Функция чётная: $$f(-x)=f(x).$$
Нулей нет, так как $$x^2+4>0$$ при всех $$x.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-2x(x^2+4)}{(x^2-4)^2}=\frac{-16x}{(x^2-4)^2}.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0]$$ и убывает на $$[0;2)\cup(2;+\infty).$$
Максимум: $$f(0)=\frac{4}{-4}=-1.$$
Ответ: графики всех функций строятся по найденным областям определения, нулям, промежуткам монотонности и асимптотам; для функций 1), 2), 4), 5), 6), 8) имеются вертикальные асимптоты при $$x=\pm2$$ или $$x=\pm1,$$ а для 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7), 8) — соответствующие точки экстремума и пересечения с осями, указанные выше.
