Упр.45.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=4x-1/3 x^3; 3) f(x)=x^4/2-4x^2;
2) f(x)=x-x^3; 4) f(x)=8x^2-7-x^4.
1) $$f(x)=4x-\frac13x^3$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=-4x+\frac13x^3=-f(x).$$
Нули функции:
$$4x-\frac13x^3=0$$
$$x\left(4-\frac13x^2\right)=0$$
$$x(12-x^2)=0$$
$$x(x-2\sqrt3)(x+2\sqrt3)=0.$$
Следовательно, $$f(x)=0$$ при $$x=-2\sqrt3,\;0,\;2\sqrt3.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2\sqrt3)\cup(0;2\sqrt3),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-2\sqrt3;0)\cup(2\sqrt3;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=4-x^2.$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x^2\le 4 \iff -2\le x\le 2.$$
Значит, функция возрастает на $$[-2;2]$$ и убывает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(2)=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}, \qquad f(-2)=-8+\frac{8}{3}=-\frac{16}{3}.$$
Точка максимума: $$\left(2;\frac{16}{3}\right),$$ точка минимума: $$\left(-2;-\frac{16}{3}\right).$$
2) $$f(x)=x-x^3$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=-x-(-x)^3=-f(x).$$
Нули функции:
$$x-x^3=0$$
$$x(1-x^2)=0$$
$$x(x-1)(x+1)=0.$$
Следовательно, $$f(x)=0$$ при $$x=-1,\;0,\;1.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(0;1),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-1;0)\cup(1;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=1-3x^2.$$
$$f'(x)\ge 0 \iff 1-3x^2\ge 0 \iff x^2\le \frac13 \iff -\frac{\sqrt3}{3}\le x\le \frac{\sqrt3}{3}.$$
Функция возрастает на $$\left[-\frac{\sqrt3}{3};\frac{\sqrt3}{3}\right]$$ и убывает на $$\left(-\infty;-\frac{\sqrt3}{3}\right]\cup\left[\frac{\sqrt3}{3};+\infty\right).$$
Экстремумы:
$$f\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{3}-\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^3=\frac{2\sqrt3}{9},$$
$$f\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{3}-\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)^3=-\frac{2\sqrt3}{9}.$$
Точка максимума: $$\left(\frac{\sqrt3}{3};\frac{2\sqrt3}{9}\right),$$ точка минимума: $$\left(-\frac{\sqrt3}{3};-\frac{2\sqrt3}{9}\right).$$
3) $$f(x)=\frac{x^4}{2}-4x^2$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=\frac{x^4}{2}-4x^2=f(x).$$
Нули функции:
$$\frac{x^4}{2}-4x^2=0$$
$$x^2\left(\frac{x^2}{2}-4\right)=0$$
$$x^2(x^2-8)=0$$
$$x^2(x-2\sqrt2)(x+2\sqrt2)=0.$$
Следовательно, $$f(x)=0$$ при $$x=-2\sqrt2,\;0,\;2\sqrt2.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-2\sqrt2;0)\cup(0;2\sqrt2).$$
Производная:
$$f'(x)=2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2).$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x\in[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
Значит, функция возрастает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2].$$
Экстремумы:
$$f(0)=0,$$
$$f(-2)=\frac{16}{2}-4\cdot 4=-8,\qquad f(2)=\frac{16}{2}-4\cdot 4=-8.$$
Точка максимума: $$\left(0;0\right),$$ точки минимума: $$\left(-2;-8\right)$$ и $$\left(2;-8\right).$$
4) $$f(x)=8x^2-7-x^4$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=8x^2-7-x^4=f(x).$$
Нули функции:
$$8x^2-7-x^4=0$$
$$x^4-8x^2+7=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-8t+7=0,$$
$$D=64-28=36,$$
$$t_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}.$$
Получаем $$t_1=1,\; t_2=7,$$ значит
$$x=\pm 1,\; \pm \sqrt7.$$
Следовательно, $$f(x)=0$$ при $$x=-\sqrt7,\;-1,\;1,\;\sqrt7.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\sqrt7;-1)\cup(1;\sqrt7),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-\sqrt7)\cup(-1;1)\cup(\sqrt7;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=16x-4x^3=4x(4-x^2)=4x(2-x)(2+x).$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x\in(-\infty;-2]\cup[0;2].$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2]$$ и убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(-2)=8\cdot 4-7-16=9,\qquad f(2)=8\cdot 4-7-16=9,$$
$$f(0)=-7.$$
Точки максимума: $$\left(-2;9\right)$$ и $$\left(2;9\right),$$ точка минимума: $$\left(0;-7\right).$$
Ответ
1) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция нечётная, нули: $$x=-2\sqrt3,0,2\sqrt3,$$ возрастает на $$[-2;2],$$ убывает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty),$$
максимум $$\left(2;\frac{16}{3}\right),$$ минимум $$\left(-2;-\frac{16}{3}\right).$$
2) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция нечётная, нули: $$x=-1,0,1,$$ возрастает на $$\left[-\frac{\sqrt3}{3};\frac{\sqrt3}{3}\right],$$ убывает на $$\left(-\infty;-\frac{\sqrt3}{3}\right]\cup\left[\frac{\sqrt3}{3};+\infty\right),$$
максимум $$\left(\frac{\sqrt3}{3};\frac{2\sqrt3}{9}\right),$$ минимум $$\left(-\frac{\sqrt3}{3};-\frac{2\sqrt3}{9}\right).$$
3) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, нули: $$x=-2\sqrt2,0,2\sqrt2,$$ возрастает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2],$$
максимум $$\left(0;0\right),$$ минимумы $$\left(-2;-8\right)$$ и $$\left(2;-8\right).$$
4) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, нули: $$x=-\sqrt7,-1,1,\sqrt7,$$ возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2],$$ убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty),$$
максимумы $$\left(-2;9\right)$$ и $$\left(2;9\right),$$ минимум $$\left(0;-7\right).$$
