Упр.45.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Исследуйте данную функцию и постройте её график: 1) $$f(x)=4x-\frac{1}{3}x^3$$; 3) $$f(x)=\frac{x^4}{2}-4x^2$$; 2) $$f(x)=x-x^3$$; 4) $$f(x)=8x^2-7-x^4$$.
1) $$f(x)=4x-\frac13x^3$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=-4x+\frac13x^3=-f(x).$$
Нули функции найдём из уравнения
$$4x-\frac13x^3=0$$
$$12x-x^3=0$$
$$x(12-x^2)=0$$
$$x(x-2\sqrt3)(x+2\sqrt3)=0.$$
Следовательно, $$f(x)=0$$ при $$x=-2\sqrt3,\ 0,\ 2\sqrt3.$$
Знак функции:
$$f(x)>0,\quad x\in(-\infty;-2\sqrt3)\cup(0;2\sqrt3);$$
$$f(x)<0,\quad x\in(-2\sqrt3;0)\cup(2\sqrt3;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=4-x^2.$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x^2\le 4 \iff -2\le x\le 2.$$
Значит, функция возрастает на $$[-2;2]$$ и убывает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(2)=8-\frac83=\frac{16}{3},\qquad f(-2)=-8+\frac83=-\frac{16}{3}.$$
Итак, максимум в точке $$\left(2;\frac{16}{3}\right),$$ минимум в точке $$\left(-2;-\frac{16}{3}\right).$$
2) $$f(x)=x-x^3$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=-x-(-x)^3=-f(x).$$
Нули функции:
$$x-x^3=0$$
$$x(1-x^2)=0$$
$$x(x-1)(x+1)=0,$$
откуда $$x=-1,\ 0,\ 1.$$
Знак функции:
$$f(x)>0,\quad x\in(-\infty;-1)\cup(0;1);$$
$$f(x)<0,\quad x\in(-1;0)\cup(1;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=1-3x^2.$$
$$f'(x)\ge 0 \iff 1-3x^2\ge 0 \iff x^2\le \frac13 \iff -\frac{\sqrt3}{3}\le x\le \frac{\sqrt3}{3}.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[-\frac{\sqrt3}{3};\frac{\sqrt3}{3}\right]$$ и убывает на $$\left(-\infty;-\frac{\sqrt3}{3}\right]\cup\left[\frac{\sqrt3}{3};+\infty\right).$$
Экстремумы:
$$f\!\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{3}-\frac{3\sqrt3}{27}=\frac{2\sqrt3}{9},$$
$$f\!\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{3}+\frac{3\sqrt3}{27}=-\frac{2\sqrt3}{9}.$$
Значит, максимум в точке $$\left(\frac{\sqrt3}{3};\frac{2\sqrt3}{9}\right),$$ минимум в точке $$\left(-\frac{\sqrt3}{3};-\frac{2\sqrt3}{9}\right).$$
3) $$f(x)=\frac{x^4}{2}-4x^2$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=\frac{x^4}{2}-4x^2=f(x).$$
Нули функции:
$$\frac{x^4}{2}-4x^2=0$$
$$x^4-8x^2=0$$
$$x^2(x^2-8)=0$$
$$x^2(x-2\sqrt2)(x+2\sqrt2)=0.$$
Следовательно, $$f(x)=0$$ при $$x=-2\sqrt2,\ 0,\ 2\sqrt2.$$
Знак функции:
$$f(x)>0,\quad x\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty);$$
$$f(x)<0,\quad x\in(-2\sqrt2;0)\cup(0;2\sqrt2).$$
Производная:
$$f'(x)=2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2).$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x\in[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
Значит, функция возрастает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2].$$
Экстремумы:
$$f(0)=0,$$
$$f(-2)=\frac{16}{2}-4\cdot 4=-8,\qquad f(2)=\frac{16}{2}-4\cdot 4=-8.$$
Итак, максимум в точке $$\left(0;0\right),$$ минимумы в точках $$(-2;-8)$$ и $$\left(2;-8\right).$$
4) $$f(x)=8x^2-7-x^4$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=8x^2-7-x^4=f(x).$$
Нули функции:
$$8x^2-7-x^4=0$$
$$x^4-8x^2+7=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-8t+7=0,$$
$$D=64-28=36,$$
$$t_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}.$$
Получаем $$t_1=1,\ t_2=7,$$ значит
$$x^2=1 \quad \text{или} \quad x^2=7,$$
откуда $$x=-\sqrt7,\ -1,\ 1,\ \sqrt7.$$
Знак функции:
$$f(x)>0,\quad x\in(-\sqrt7;-1)\cup(1;\sqrt7);$$
$$f(x)<0,\quad x\in(-\infty;-\sqrt7)\cup(-1;1)\cup(\sqrt7;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=16x-4x^3=4x(4-x^2)=4x(2-x)(2+x).$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x\in(-\infty;-2]\cup[0;2].$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2]$$ и убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(-2)=8\cdot 4-7-16=9,\qquad f(2)=8\cdot 4-7-16=9,$$
$$f(0)=-7.$$
Значит, максимумы в точках $$(-2;9)$$ и $$\left(2;9\right),$$ минимум в точке $$\left(0;-7\right).$$
Ответ
Для всех четырёх функций найдены область определения, чётность/нечётность, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума, по которым строится график.
