Упр.45.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=3x-x^3-2; 4) f(x)=3/2 x^2-x^3;
2) f(x)=2x^3-3x^2+5; 5) f(x)=x^4-2x^2+1;
3) f(x)=3x-x^3/9; 6) f(x)=(x+3)^2 (x-1)^2.
1) $$f(x)=3x-x^3-2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$f(-x)=-3x+x^3-2\ne f(x), \qquad f(-x)\ne -f(x).$$
Нули функции найдём из уравнения
$$3x-x^3-2=0$$
$$x^3-3x+2=0$$
$$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2).$$
Следовательно,
$$f(x)=0 \text{ при } x=-2 \text{ и } x=1.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-2;1)\cup(1;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=3-3x^2=3(1-x^2)=3(1-x)(1+x).$$
$$f'(x)\ge 0 \text{ при } -1\le x\le 1.$$
Значит, функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(-1)=-3+1-2=-4,$$
$$f(1)=3-1-2=0.$$
Минимум: $$(-1;-4)$$, максимум: $$ (1;0).$$
2) $$f(x)=2x^3-3x^2+5$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$f(-x)=-2x^3-3x^2+5\ne f(x), \qquad f(-x)\ne -f(x).$$
Нули функции:
$$2x^3-3x^2+5=0$$
$$2x^3-3x^2+5=(x+1)(2x^2-5x+5).$$
Так как $$D=25-40=-15<0,$$ квадратный множитель корней не имеет, значит
$$f(x)=0 \text{ при } x=-1.$$
Знак функции:
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1),$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-1;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1).$$
$$f'(x)\ge 0 \text{ при } x\le 0 \text{ и } x\ge 1.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[0;1].$$
Экстремумы:
$$f(0)=5,$$
$$f(1)=2-3+5=4.$$
Максимум: $$ (0;5),$$ минимум: $$ (1;4).$$
3) $$f(x)=3x-\dfrac{x^3}{9}$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=-3x+\dfrac{x^3}{9}=-f(x).$$
Нули функции:
$$3x-\dfrac{x^3}{9}=0$$
$$27x-x^3=0$$
$$x(27-x^2)=0$$
$$x(x-3\sqrt3)(x+3\sqrt3)=0.$$
Следовательно,
$$f(x)=0 \text{ при } x=-3\sqrt3,\;0,\;3\sqrt3.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-3\sqrt3)\cup(0;3\sqrt3),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-3\sqrt3;0)\cup(3\sqrt3;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=3-\dfrac{x^2}{3}=\dfrac{9-x^2}{3}.$$
$$f'(x)\ge 0 \text{ при } -3\le x\le 3.$$
Значит, функция возрастает на $$[-3;3]$$ и убывает на $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(-3)=-9+\dfrac{27}{9}=-6,$$
$$f(3)=9-\dfrac{27}{9}=6.$$
Минимум: $$(-3;-6),$$ максимум: $$(3;6).$$
4) $$f(x)=\dfrac{3}{2}x^2-x^3$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$f(-x)=\dfrac{3}{2}x^2+x^3\ne \pm f(x).$$
Нули функции:
$$\dfrac{3}{2}x^2-x^3=0$$
$$x^2\left(\dfrac{3}{2}-x\right)=0.$$
Следовательно,
$$f(x)=0 \text{ при } x=0 \text{ и } x=\dfrac{3}{2}.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in\left(0;\dfrac{3}{2}\right),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup\left(\dfrac{3}{2};+\infty\right).$$
Производная:
$$f'(x)=3x-3x^2=3x(1-x).$$
$$f'(x)\ge 0 \text{ при } 0\le x\le 1.$$
Значит, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(0)=0,$$
$$f(1)=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}.$$
Минимум: $$(0;0),$$ максимум: $$(1;\dfrac{1}{2}).$$
5) $$f(x)=x^4-2x^2+1$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=x^4-2x^2+1=f(x).$$
Преобразуем:
$$f(x)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2.$$
Отсюда
$$f(x)\ge 0,$$
$$f(x)=0 \text{ при } x=-1 \text{ и } x=1.$$
Производная:
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1).$$
Знак производной даёт:
функция убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1],$$
возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(-1)=0,\qquad f(0)=1,\qquad f(1)=0.$$
Максимум: $$(0;1),$$ минимумы: $$( -1;0)$$ и $$(1;0).$$
6) $$f(x)=(x+3)^2(x-1)^2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$f(-x)=(x-3)^2(x+1)^2\ne \pm f(x).$$
Так как произведение квадратов неотрицательно, то
$$f(x)\ge 0.$$
Нули функции:
$$f(x)=0 \text{ при } x=-3 \text{ и } x=1.$$
Производная:
$$f'(x)=2(x+3)(x-1)^2+2(x-1)(x+3)^2$$
$$f'(x)=2(x+3)(x-1)(2x+2)=4(x+3)(x-1)(x+1).$$
Отсюда
$$f'(x)\ge 0 \text{ при } x\in[-3;-1]\cup[1;+\infty).$$
Значит, функция возрастает на $$[-3;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-1;1].$$
Экстремумы:
$$f(-3)=0,\qquad f(-1)=16,\qquad f(1)=0.$$
Минимумы: $$( -3;0)$$ и $$(1;0),$$ максимум: $$( -1;16).$$
Ответ
Для всех шести функций найдены область определения, чётность, нули, промежутки знакопостоянства, возрастания и убывания, а также точки экстремума; графики строятся по этим данным.
