Упр.44.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 44.9. Найдите точки перегиба функции y=3x^5-10x^4+10x^3+12x+3.

Подробный ответ

Найдём вторую производную функции:

$$y=3x^5-10x^4+10x^3+12x+3$$

$$y'(x)=15x^4-40x^3+30x^2+12$$

$$y»(x)=60x^3-120x^2+60x$$

Вынесем общий множитель:

$$y»(x)=60x(x^2-2x+1)=60x(x-1)^2$$

Точки перегиба возможны там, где $$y»(x)=0$$ или не существует. Здесь:

$$60x(x-1)^2=0$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=1$$.

Проверим знак второй производной. Так как $$60>0$$ и $$ (x-1)^2\ge 0$$, знак $$y»(x)$$ определяется знаком $$x$$. При переходе через $$x=0$$ знак меняется, а при $$x=1$$ — нет, потому что множитель $$ (x-1)^2$$ не меняет знак.

Значит, точка перегиба одна: при $$x=0$$.

Найдём её ординату:

$$y(0)=3$$

Следовательно, точка перегиба функции — $$ (0;3)$$.