Упр.44.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=x^3-2x^2+x-2; 2) y=x^4-6x^3+12x^2-3x+4.

1) $$y=x^3-2x^2+x-2$$

Найдём вторую производную:

$$y'(x)=3x^2-4x+1$$

$$y»(x)=6x-4$$

Определим знак второй производной:

$$6x-4\le 0$$

$$6x\le 4$$

$$x\le \frac23$$

Значит, функция выпукла вверх при $$x\in\left(-\infty;\frac23\right]$$, а выпукла вниз при $$x\in\left[\frac23;+\infty\right)$$.

При переходе через $$x=\frac23$$ знак $$y»(x)$$ меняется, значит, это точка перегиба.

2) $$y=x^4-6x^3+12x^2-3x+4$$

Найдём вторую производную:

$$y'(x)=4x^3-18x^2+24x-3$$

$$y»(x)=12x^2-36x+24$$

Решим неравенство:

$$12x^2-36x+24\le 0$$

$$x^2-3x+2\le 0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le 0$$

Отсюда

$$x\in[1;2]$$

Следовательно, функция выпукла вверх при $$x\in[1;2]$$, а выпукла вниз при $$x\in(-\infty;1]\cup[2;+\infty)$$.

Точки $$x=1$$ и $$x=2$$ — точки перегиба.

Ответ

1) Функция выпукла вверх на $$\left(-\infty;\frac23\right]$$, выпукла вниз на $$\left[\frac23;+\infty\right)$$; $$x=\frac23$$ — точка перегиба.

2) Функция выпукла вверх на $$[1;2]$$, выпукла вниз на $$(-\infty;1]\cup[2;+\infty)$$; $$x=1$$ и $$x=2$$ — точки перегиба.