Упр.44.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=x^3-3x+2; 2) y=x^4-8x^3+18x^2-x+1.

1) $$y=x^3-3x+2$$

Найдём вторую производную:

$$y'(x)=3x^2-3,$$

$$y»(x)=6x.$$

Исследуем знак второй производной:

$$6x<0 \text{ при } x<0,\qquad 6x>0 \text{ при } x>0.$$

Значит, функция выпукла вниз на $$(-\infty;0]$$ и выпукла вверх на $$[0;+\infty).$$

При $$x=0$$ знак $$y»(x)$$ меняется, следовательно, это точка перегиба. Найдём её ординату:

$$y(0)=2.$$

Точка перегиба: $$\,(0;2).$$

2) $$y=x^4-8x^3+18x^2-x+1$$

Найдём вторую производную:

$$y'(x)=4x^3-24x^2+36x-1,$$

$$y»(x)=12x^2-48x+36.$$

Решим неравенство $$y»(x)\le 0$$:

$$12x^2-48x+36\le 0,$$

$$x^2-4x+3\le 0,$$

$$ (x-1)(x-3)\le 0.$$

Отсюда

$$1\le x\le 3.$$

Следовательно, функция выпукла вверх на $$[1;3]$$, а выпукла вниз на $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty).$$

В точках $$x=1$$ и $$x=3$$ знак $$y»(x)$$ меняется, значит, это точки перегиба. Найдём их координаты:

$$y(1)=1-8+18-1+1=11,$$

$$y(3)=81-216+162-3+1=25.$$

Точки перегиба: $$\,(1;11)$$ и $$\,(3;25).$$

Ответ

1) Выпукла вверх на $$(-\infty;0]$$, выпукла вниз на $$[0;+\infty)$$; точка перегиба $$\,(0;2).$$

2) Выпукла вверх на $$[1;3]$$, выпукла вниз на $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$$; точки перегиба $$\,(1;11)$$ и $$\,(3;25).$$