Упр.44.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Найдите вторую производную функции:
1) $$y=x^4$$;
2) $$y=3-5x+x^3$$;
3) $$y=\frac{1}{x-1}$$;
4) $$y=x^{1/3}$$;
5) $$y=(1-3x)^3$$;
6) $$y=\cos(2x)$$;
7) $$y=\sin^2(x)$$;
8) $$y=x\cos(x)$$.
Найдём вторые производные для каждой функции.
$$y=x^4$$
$$y’=4x^3$$
$$y»=12x^2$$
$$y=3-5x+x^3$$
$$y’=-5+3x^2$$
$$y»=6x$$
$$y=\frac{1}{x-1}=(x-1)^{-1}$$
$$y’=-(x-1)^{-2}=-\frac{1}{(x-1)^2}$$
$$y»=2(x-1)^{-3}=\frac{2}{(x-1)^3}$$
$$y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$$
$$y’=\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$
$$y»=\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)x^{-5/3}=-\frac{2}{9}x^{-5/3}=-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$$
$$y=(1-3x)^3$$
$$y’=3(1-3x)^2\cdot(-3)=-9(1-3x)^2$$
$$y»=-9\cdot 2(1-3x)\cdot(-3)=54(1-3x)$$
$$y=\cos 2x$$
$$y’=-2\sin 2x$$
$$y»=-4\cos 2x$$
$$y=\sin^2 x$$
$$y’=2\sin x\cos x=\sin 2x$$
$$y»=2\cos 2x$$
$$y=x\cos x$$
$$y’=\cos x-x\sin x$$
$$y»=-\sin x-\sin x-x\cos x=-2\sin x-x\cos x$$
Ответ:
$$1)\ y»=12x^2;\quad 2)\ y»=6x;\quad 3)\ y»=\frac{2}{(x-1)^3};\quad 4)\ y»=-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}};$$
$$5)\ y»=54(1-3x);\quad 6)\ y»=-4\cos 2x;\quad 7)\ y»=2\cos 2x;\quad 8)\ y»=-2\sin x-x\cos x.$$
