Упр.44.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 44.16. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции y=x^2-4cos(x).

Найдём вторую производную функции:

$$y=x^2-4\cos x$$

$$y’ = 2x+4\sin x$$

$$y» = 2+4\cos x$$

Точки перегиба и промежутки выпуклости определяются по знаку второй производной.

Решим неравенство:

$$2+4\cos x \ge 0$$

$$4\cos x \ge -2$$

$$\cos x \ge -\frac12$$

Это выполняется при

$$x \in \left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$

а также на соседних промежутках, где $$\cos x \le -\frac12$$:

$$x \in \left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как

$$y»=0 \iff 2+4\cos x=0 \iff \cos x=-\frac12,$$

то точки перегиба соответствуют значениям

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, функция выпукла вверх там, где $$y»>0$$, и выпукла вниз там, где $$y»<0$$.

Ответ

Функция выпукла вверх на промежутках

$$\left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$

выпукла вниз на промежутках

$$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Точки перегиба: $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$