Упр.44.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 44.15. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции y=x^2+4sin(x).

Найдём вторую производную функции:

$$y=x^2+4\sin x$$

$$y'(x)=2x+4\cos x$$

$$y»(x)=2-4\sin x$$

Определим, где функция выпукла вверх и вниз.

Функция выпукла вверх, если $$y»(x)\le 0$$:

$$2-4\sin x\le 0$$

$$\sin x\ge \frac12$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Функция выпукла вниз, если $$y»(x)\ge 0$$:

$$2-4\sin x\ge 0$$

$$\sin x\le \frac12$$

Следовательно,

$$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Точки перегиба находятся в точках, где $$y»(x)=0$$ и меняет знак:

$$2-4\sin x=0$$

$$\sin x=\frac12$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

Функция выпукла вверх на $$\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]$$, выпукла вниз на $$\left[-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.

Точки перегиба: $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$