Упр.44.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=(1-x^2)/(1+x^2); 2) y=x/(x+1)^2.

1. $$y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$$

   Найдём вторую производную:

   $$ y'(x)=\frac{-2x(1+x^2)-2x(1-x^2)}{(1+x^2)^2} =-\frac{4x}{(1+x^2)^2} $$

   $$ y»(x)=\frac{-4(1+x^2)^2-(-4x)\cdot 2(1+x^2)\cdot 2x}{(1+x^2)^4} =\frac{4(3x^2-1)}{(1+x^2)^3} $$

   Так как $$1+x^2>0$$ при всех $$x$$, знак $$y»$$ определяется выражением $$3x^2-1$$.

   $$ y»(x)>0 \iff 3x^2-1>0 \iff x<-\frac{\sqrt3}{3}\ \text{или}\ x>\frac{\sqrt3}{3} $$

   $$ y»(x)<0 \iff -\frac{\sqrt3}{3}<x<\frac{\sqrt3}{3} $$

   В точках $$x=\pm \frac{\sqrt3}{3}$$ вторая производная меняет знак, значит это точки перегиба.

   Найдём ординаты:

   $$ y\!\left(\pm\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{1-\frac13}{1+\frac13}=\frac12 $$

2. $$y=\frac{x}{(x+1)^2}$$

   Область определения: $$x\ne -1$$.

   Найдём вторую производную:

   $$ y'(x)=\frac{(x+1)^2-2x(x+1)}{(x+1)^4} =\frac{1-x}{(x+1)^3} $$

   $$ y»(x)=\frac{-(x+1)^3-3(x+1)^2(1-x)}{(x+1)^6} =\frac{2(x-2)}{(x+1)^4} $$

   Так как $$ (x+1)^4>0 $$ при $$x\ne -1$$, знак $$y»$$ определяется выражением $$x-2$$.

   $$ y»(x)<0 \iff x<2,\ x\ne -1 $$

   $$ y»(x)>0 \iff x>2 $$

   В точке $$x=2$$ вторая производная меняет знак, значит это точка перегиба.

   $$ y(2)=\frac{2}{3^2}=\frac29 $$

Ответ

1) Функция выпукла вверх на $$\left(-\infty;-\frac{\sqrt3}{3}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{3};+\infty\right)$$, выпукла вниз на $$\left(-\frac{\sqrt3}{3};\frac{\sqrt3}{3}\right)$$; точки перегиба: $$\left(-\frac{\sqrt3}{3};\frac12\right)$$ и $$\left(\frac{\sqrt3}{3};\frac12\right)$$.
2) Функция выпукла вверх на $$(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$$, выпукла вниз на $$(-1;2)$$; точка перегиба: $$\left(2;\frac29\right)$$.