Упр.44.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=x/(1+x^2); 2) y=x/(x-1)^2.

1) $$y=\frac{x}{1+x^2}$$

Найдём производные:

$$ y'(x)=\frac{1+x^2-2x\cdot x}{(1+x^2)^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} $$

$$ y»(x)=\frac{-2x(1+x^2)^2-2(1+x^2)(1-x^2)(-2x)}{(1+x^2)^4} =\frac{-2x(1+x^2)\bigl(1+x^2+2-2x^2\bigr)}{(1+x^2)^4} $$

$$ y»(x)=\frac{-2x(3-x^2)}{(1+x^2)^3} $$

Так как $$1+x^2>0$$ при всех $$x$$, знак $$y»(x)$$ определяется выражением $$-2x(3-x^2)$$. Тогда

$$ y»(x)\le 0 \iff 2x(x^2-3)\le 0 $$

Отсюда получаем промежутки выпуклости:

выпукла вверх на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[0;\sqrt3]$$;

выпукла вниз на $$[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;+\infty)$$.

Точки, в которых меняется знак $$y»(x)$$, дают точки перегиба:

$$x=-\sqrt3,\; x=0,\; x=\sqrt3.$$

2) $$y=\frac{x}{(x-1)^2}$$

Область определения: $$x\ne 1$$.

Найдём производные:

$$ y'(x)=\frac{(x-1)^2-2(x-1)\cdot x}{(x-1)^4} =\frac{(x-1)(x-1-2x)}{(x-1)^4} =\frac{x+1}{(1-x)^3} $$

$$ y»(x)=\frac{(1-x)^3+3(1-x)^2(x+1)}{(1-x)^6} $$

Упростим:

$$ y»(x)=\frac{(1-x)+3(x+1)}{(1-x)^4} =\frac{2x+4}{(1-x)^4} =\frac{2(x+2)}{(1-x)^4} $$

Так как $$ (1-x)^4>0 $$ при $$x\ne 1$$, знак $$y»(x)$$ определяется числителем $$x+2$$. Поэтому

$$ y»(x)\le 0 \iff x\le -2 $$

с учётом области определения.

Следовательно, функция выпукла вверх на $$(-\infty;-2]$$, а выпукла вниз на $$[-2;1)\cup(1;+\infty)$$.

Точка перегиба соответствует значению $$x=-2$$.

Ответ

1) Выпукла вверх на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[0;\sqrt3]$$, выпукла вниз на $$[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;+\infty)$$. Точки перегиба: $$x=-\sqrt3,\;0,\;\sqrt3$$.

2) Выпукла вверх на $$(-\infty;-2]$$, выпукла вниз на $$[-2;1)\cup(1;+\infty)$$. Точка перегиба: $$x=-2$$.