Упр.44.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 44.12. Докажите, что функция f(x)=sin^2(x)-2x^2 является выпуклой вверх на R.

Найдём вторую производную функции $$f(x)=\sin^2 x-2x^2.$$

$$ f'(x)=2\sin x\cos x-4x=\sin 2x-4x, $$
$$ f»(x)=2\cos 2x-4. $$

Так как для любого $$x\in \mathbb{R}$$ выполняется $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$ 2\cos 2x-4\le 2\cdot 1-4=-2<0. $$

Значит, $$f»(x)\le 0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Следовательно, функция $$f(x)=\sin^2 x-2x^2$$ выпукла вверх на всей числовой прямой.

Ответ

Функция $$f(x)=\sin^2 x-2x^2$$ выпукла вверх на $$\mathbb{R}.$$