Упр.44.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 44.11. Докажите, что функция f(x)=x^4-4x^3+12x^2-11x-7 является выпуклой вниз на R.

Найдём вторую производную функции:

$$f(x)=x^4-4x^3+12x^2-11x-7$$

$$f'(x)=4x^3-12x^2+24x-11$$

$$f»(x)=12x^2-24x+24$$

Преобразуем:

$$f»(x)=12(x^2-2x+2)=12\bigl((x-1)^2+1\bigr)$$

Так как $$ (x-1)^2 \ge 0 $$ при любом $$x \in \mathbb{R}$$, то

$$f»(x)=12\bigl((x-1)^2+1\bigr)>0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R}.$$

Следовательно, функция $$f(x)$$ выпукла вниз на всей числовой прямой.

Ответ

Функция $$f(x)=x^4-4x^3+12x^2-11x-7$$ выпукла вниз на $$\mathbb{R}$$.