Упр.44.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 44.10. Найдите точки перегиба функции y=3x^5+10x^4+10x^3-5x-4.

Подробный ответ

Найдём вторую производную функции:

$$y=3x^5+10x^4+10x^3-5x-4$$

$$y'(x)=15x^4+40x^3+30x^2-5$$

$$y»(x)=60x^3+120x^2+60x$$

Вынесем общий множитель:

$$y»(x)=60x(x^2+2x+1)=60x(x+1)^2$$

Точки перегиба возможны там, где $$y»(x)=0$$ или вторая производная не существует. Здесь производная существует при всех $$x$$, поэтому решаем уравнение:

$$60x(x+1)^2=0$$

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-1$$

Проверим знак второй производной. Так как $$60>0$$ и $$ (x+1)^2\ge 0$$, знак $$y»(x)$$ определяется знаком $$x$$. При переходе через $$x=0$$ знак меняется, значит в этой точке есть перегиб. При $$x=-1$$ знак не меняется, поэтому это не точка перегиба.

Найдём ординату точки перегиба:

$$y(0)=-4$$

Следовательно, точка перегиба — $$ (0,-4) $$.