Упр.44.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите точки перегиба функции $$y=3x^5+10x^4+10x^3-5x-4$$.

Найдём вторую производную функции:

$$y=3x^5+10x^4+10x^3-5x-4$$

$$y'(x)=15x^4+40x^3+30x^2-5$$

$$y»(x)=60x^3+120x^2+60x$$

Вынесем общий множитель:

$$y»(x)=60x(x^2+2x+1)=60x(x+1)^2$$

Точки перегиба возможны там, где $$y»(x)=0$$ и меняет знак:

$$60x(x+1)^2=0$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-1.$$

Так как $$(x+1)^2 \ge 0$$ и знак второй производной определяется знаком $$x$$, то при переходе через $$x=0$$ знак $$y»(x)$$ меняется, а при $$x=-1$$ — нет. Значит, точка перегиба одна:

$$x=0.$$

Найдём её ординату:

$$y(0)=-4.$$

Следовательно, точка перегиба функции — $$(0;\,-4)$$.

Ответ: $$(0;\,-4)$$.