Упр.43.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=2sin(2x)+cos(4x), [0; ?/3]; 2) f(x)=v3sin(2x)+cos(2x)-5, [0; ?/3].

Подробный ответ

$$f(x)=2\sin 2x+\cos 4x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{3}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4\cos 2x-4\sin 4x.$$
Так как $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x,$$ то
$$f'(x)=4\cos 2x-8\sin 2x\cos 2x=4\cos 2x\,(1-2\sin 2x).$$
Критические точки на отрезке получаем из уравнения
$$4\cos 2x\,(1-2\sin 2x)=0.$$
Отсюда:
$$\cos 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4};$$
$$1-2\sin 2x=0 \Rightarrow \sin 2x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{12}.$$
Проверим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(0)=2\sin 0+\cos 0=1,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=2\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}=1+\frac12=\frac32,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}+\cos\pi=2-1=1,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{4\pi}{3}=\sqrt3-\frac12.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac32,$$ а наименьшее — $$1.$$
$$f(x)=\sqrt3\sin 2x+\cos 2x-5,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{3}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\sqrt3\cos 2x-2\sin 2x.$$
Приравняем к нулю:
$$2\sqrt3\cos 2x-2\sin 2x=0,$$
$$\tan 2x=\sqrt3.$$
Тогда
$$2x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}.$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{3}\right]$$ подходит только $$x=\frac{\pi}{6}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(0)=\sqrt3\sin 0+\cos 0-5=-4,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}-5=\frac32+\frac12-5=-3,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3\sin\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}-5=\frac32-\frac12-5=-4.$$
Значит, наибольшее значение равно $$-3,$$ а наименьшее — $$-4.$$