Упр.43.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.8. Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение квадрата одного из этих чисел на удвоенное второе число было наибольшим.

Подробный ответ

Пусть одно из чисел равно $$x$$, тогда второе равно $$12-x$$, где $$0 \le x \le 12$$.

Требуется, чтобы произведение квадрата одного числа на удвоенное второе было наибольшим. Рассмотрим функцию

$$f(x)=2x^2(12-x).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x(12-x)-2x^2=48x-6x^2=6x(8-x).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=8$$.

На отрезке $$[0;12]$$ функция возрастает при $$0<x<8$$ и убывает при $$8<x<12$$, значит, наибольшее значение достигается при $$x=8$$.

Тогда второе число:

$$12-8=4.$$

Проверим: $$2\cdot 8^2 \cdot 4$$ — максимальное значение.