Упр.43.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.7. Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение куба одного из этих чисел на второе число было наибольшим.

Пусть одно из чисел равно $$x$$, тогда второе число равно $$8-x$$, где $$0 \le x \le 8$$.

Рассмотрим произведение куба одного числа на второе:

$$f(x)=x^3(8-x).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2(8-x)-x^3=24x^2-4x^3=4x^2(6-x).$$

Критические точки на отрезке $$[0;8]$$: $$x=0$$ и $$x=6$$.

Проверим значение функции в этих точках и на концах отрезка:

$$f(0)=0,$$

$$f(6)=6^3\cdot 2=432,$$

$$f(8)=0.$$

Наибольшее значение достигается при $$x=6$$, тогда второе число равно $$8-6=2$$.

Следовательно, число $$8$$ нужно представить в виде суммы $$6$$ и $$2$$.

Ответ

$$8=6+2$$.