Упр.43.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=v3sin(x)+cos(x), [0; ?]; 2) f(x)=2cos(4x+?/6), [-?/12; ?/3].

Подробный ответ

$$f(x)=\sqrt{3}\sin x+\cos x,\quad [0;\pi]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\sqrt{3}\cos x-\sin x.$$
Приравняем её к нулю:
$$\sqrt{3}\cos x-\sin x=0,$$
$$\tg x=\sqrt{3},$$
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ подходит только $$x=\frac{\pi}{3}.$$
Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac12=\frac32+\frac12=2,$$
$$f(0)=\sqrt{3}\sin 0+\cos 0=1,$$
$$f(\pi)=\sqrt{3}\sin \pi+\cos \pi=-1.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$2,$$ наименьшее — $$-1.$$
$$f(x)=2\cos\!\left(4x+\frac{\pi}{6}\right),\quad \left[-\frac{\pi}{12};\frac{\pi}{3}\right]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-8\sin\!\left(4x+\frac{\pi}{6}\right).$$
Приравняем её к нулю:
$$\sin\!\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)=0,$$
$$4x+\frac{\pi}{6}=\pi n,$$
$$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}.$$
На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{12};\frac{\pi}{3}\right]$$ получаем точки:
$$x=-\frac{\pi}{24},\quad x=\frac{5\pi}{24}.$$
Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$$f\!\left(-\frac{\pi}{12}\right)=2\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3},$$
$$f\!\left(-\frac{\pi}{24}\right)=2\cos 0=2,$$
$$f\!\left(\frac{5\pi}{24}\right)=2\cos \pi=-2,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\!\left(\frac{4\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0.$$
Значит, наибольшее значение функции равно $$2,$$ наименьшее — $$-2.$$