Упр.43.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=v(9+8x-x^2), [0; 7]; 3) f(x)=(x-1)^2 (x+5)^2, [-3; 2];
2) f(x)=4x/(x^2+1), [-2; 4]; 4) f(x)=-x-9/x, [-6; -1].

Подробный ответ

$$f(x)=\sqrt{9+8x-x^2}, \quad [0;7]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{8-2x}{2\sqrt{9+8x-x^2}}.$$
Критическая точка:
$$8-2x=0,\quad x=4.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(0)=\sqrt{9}=3,$$
$$f(4)=\sqrt{9+32-16}=\sqrt{25}=5,$$
$$f(7)=\sqrt{9+56-49}=\sqrt{16}=4.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$5,$$ наименьшее — $$3.$$
$$f(x)=\frac{4x}{x^2+1}, \quad [-2;4]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{4(x^2+1)-8x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{4-4x^2}{(x^2+1)^2}.$$
Критические точки:
$$4-4x^2=0,\quad x^2=1,\quad x=\pm 1.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(-2)=\frac{-8}{5}, \quad f(-1)=-2, \quad f(1)=2, \quad f(4)=\frac{16}{17}.$$
Значит, наибольшее значение равно $$2,$$ наименьшее — $$-2.$$
$$f(x)=(x-1)^2(x+5)^2, \quad [-3;2]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2(x-1)(x+5)^2+2(x+5)(x-1)^2.$$
Вынесем общий множитель:
$$f'(x)=2(x-1)(x+5)\bigl((x+5)+(x-1)\bigr)=2(x-1)(x+5)(2x+4).$$
Критические точки:
$$x=-5,\quad x=-2,\quad x=1.$$
На отрезке $$[-3;2]$$ лежат точки $$x=-2$$ и $$x=1.$$ Проверим также концы отрезка:
$$f(-3)=(-4)^2\cdot 2^2=64,$$
$$f(-2)=(-3)^2\cdot 3^2=81,$$
$$f(1)=0,$$
$$f(2)=1^2\cdot 7^2=49.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$81,$$ наименьшее — $$0.$$
$$f(x)=-x-\frac{9}{x}, \quad [-6;-1]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-1+\frac{9}{x^2}=\frac{9-x^2}{x^2}.$$
Критические точки:
$$9-x^2=0,\quad x=\pm 3.$$
На отрезке $$[-6;-1]$$ лежит точка $$x=-3.$$ Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(-6)=6+\frac{9}{6}=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2},$$
$$f(-3)=3+\frac{9}{3}=6,$$
$$f(-1)=1+9=10.$$
Значит, наибольшее значение равно $$10,$$ наименьшее — $$6.$$