Упр.43.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.32. Решите уравнение v(x+7)+v(1-x)=x^2+6x+13.

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{x+7}+\sqrt{1-x}, \qquad g(x)=x^2+6x+13.$$

Найдём область определения левой части:

$$x+7\ge 0,\qquad 1-x\ge 0,$$

откуда

$$-7\le x\le 1.$$

Исследуем функцию $$f(x)$$ на этом промежутке:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+7}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+7}}{2\sqrt{x+7}\sqrt{1-x}}.$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:

$$\sqrt{1-x}-\sqrt{x+7}\ge 0 \iff 1-x\ge x+7 \iff x\le -3.$$

Значит, $$f(x)$$ возрастает на $$[-7,-3]$$ и убывает на $$[-3,1].$$ Следовательно,

$$\max f(x)=f(-3)=\sqrt{4}+\sqrt{4}=4.$$

Теперь рассмотрим правую часть:

$$g(x)=x^2+6x+13=(x+3)^2+4.$$

Отсюда сразу видно, что

$$\min g(x)=4,$$

и достигается она при $$x=-3.$$

Так как левая часть не превосходит $$4$$, а правая часть не меньше $$4$$, то равенство возможно только при одновременном выполнении

$$f(x)=4,\qquad g(x)=4.$$

Это происходит при $$x=-3.$$ Проверим:

$$\sqrt{-3+7}+\sqrt{1-(-3)}=\sqrt4+\sqrt4=2+2=4,$$

$$(-3)^2+6\cdot(-3)+13=9-18+13=4.$$

Ответ

$$x=-3.$$