Упр.43.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.31. Решите уравнение v(5-x)+v(x-3)=x^2-8x+18.

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{5-x}+\sqrt{x-3}, \qquad g(x)=x^2-8x+18.$$

Найдём область определения левой части:

$$5-x\ge 0,\qquad x-3\ge 0,$$

откуда

$$3\le x\le 5.$$

Исследуем функцию $$f(x)$$ на этом промежутке:

$$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}+\frac{1}{2\sqrt{x-3}}.$$

При $$x=4$$ имеем

$$f'(4)=0,$$

а значит, на $$[3;5]$$ функция $$f(x)$$ достигает максимума в точке $$x=4$$:

$$f(4)=\sqrt{1}+\sqrt{1}=2.$$

Теперь рассмотрим правую часть:

$$g(x)=x^2-8x+18=(x-4)^2+2.$$

Следовательно,

$$g(x)\ge 2,$$

и минимум достигается при $$x=4$$:

$$g(4)=2.$$

Так как левая часть не превосходит $$2$$, а правая часть не меньше $$2$$, равенство возможно только при

$$f(x)=2 \quad \text{и} \quad g(x)=2.$$

Это выполняется при $$x=4$$.

Ответ

$$4$$