Упр.43.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.30. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=4x^3-x|x-2| на промежутке [0; 3].

Подробный ответ

Рассмотрим функцию по частям:

$$ f(x)=4x^3-x|x-2|,\quad x\in[0;3]. $$
Если $$x\ge 2$$, то $$|x-2|=x-2$$, значит
$$ f(x)=4x^3-x(x-2)=4x^3-x^2+2x. $$
Тогда
$$ f'(x)=12x^2-2x+2. $$
Дискриминант:
$$ D=(-2)^2-4\cdot 12\cdot 2=4-96<0. $$ Следовательно, $$f'(x)>0$$ при всех $$x$$, значит на $$[2;3]$$ функция возрастает.

Если $$x\le 2$$, то $$|x-2|=2-x$$, значит
$$ f(x)=4x^3-x(2-x)=4x^3+x^2-2x. $$
Тогда
$$ f'(x)=12x^2+2x-2=2(6x^2+x-1). $$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$ 6x^2+x-1=0, $$
$$ D=1+24=25, $$
$$ x_1=\frac{-1-5}{12}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{-1+5}{12}=\frac13. $$
На отрезке $$[0;2]$$ критическая точка только $$x=\frac13$$.

Найдём значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$ f(0)=0, $$
$$ f\!\left(\frac13\right)=4\cdot\frac{1}{27}+\frac{1}{9}-2\cdot\frac13 =\frac{4}{27}+\frac{3}{27}-\frac{18}{27} =-\frac{11}{27}, $$
$$ f(2)=4\cdot 8-2\cdot|2-2|=32, $$
$$ f(3)=4\cdot 27-3\cdot|3-2|=108-3=105. $$

Сравниваем полученные значения:
$$ -\frac{11}{27},\ 0,\ 32,\ 105. $$
Наименьшее значение равно $$-\frac{11}{27}$$, наибольшее — $$105$$.