Упр.43.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=v(100-x^2), [-6; 8]; 3) f(x)=(x+1)^2 (x-2)^2, [-2; 4];
2) f(x)=v(0,5x^2+3x+5), [2; 4]; 4) f(x)=2/x+x/2, [-4; -1].

Подробный ответ

$$f(x)=\sqrt{100-x^2}, \quad [-6;8]$$
Найдём критическую точку:
$$f'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{100-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{100-x^2}}=0, \quad x=0.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(-6)=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8,$$
$$f(0)=\sqrt{100}=10,$$
$$f(8)=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$10,$$ наименьшее — $$6.$$
$$f(x)=\sqrt{0{,}5x^2+3x+5}, \quad [2;4]$$
Найдём критическую точку:
$$f'(x)=\frac{0{,}5\cdot 2x+3}{2\sqrt{0{,}5x^2+3x+5}}=0, \quad x=-3.$$
Точка $$x=-3$$ не принадлежит отрезку $$[2;4],$$ значит, достаточно проверить концы отрезка:
$$f(2)=\sqrt{0{,}5\cdot 4+3\cdot 2+5}=\sqrt{13},$$
$$f(4)=\sqrt{0{,}5\cdot 16+3\cdot 4+5}=\sqrt{25}=5.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$5,$$ наименьшее — $$\sqrt{13}.$$
$$f(x)=(x+1)^2(x-2)^2, \quad [-2;4]$$
Рассмотрим производную:
$$f'(x)=2(x+1)(x-2)^2+2(x-2)(x+1)^2.$$
Вынесем общий множитель:
$$f'(x)=2(x+1)(x-2)\bigl((x-2)+(x+1)\bigr)=2(x+1)(x-2)(2x-1).$$
Критические точки:
$$x=-1,\quad x=\frac12,\quad x=2.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(-2)=(-1)^2\cdot(-4)^2=16,$$
$$f(-1)=0,$$
$$f\left(\frac12\right)=\left(\frac32\right)^2\left(-\frac32\right)^2=\frac{81}{16},$$
$$f(2)=0,$$
$$f(4)=5^2\cdot 2^2=100.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$100,$$ наименьшее — $$0.$$
$$f(x)=\frac{2}{x}+\frac{x}{2}, \quad [-4;-1]$$
Найдём критические точки:
$$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac12=\frac{4-x^2}{2x^2}=0,$$
откуда
$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
На отрезке $$[-4;-1]$$ лежит только точка $$x=-2.$$ Проверим значения функции в концах отрезка и в этой точке:
$$f(-4)=\frac{2}{-4}+\frac{-4}{2}=-\frac12-2=-\frac52,$$
$$f(-2)=\frac{2}{-2}+\frac{-2}{2}=-1-1=-2,$$
$$f(-1)=\frac{2}{-1}+\frac{-1}{2}=-2-\frac12=-\frac52.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$-2,$$ наименьшее — $$-\frac52.$$