Упр.43.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.29. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=-5x^3+x|x-1| на промежутке [0; 2].

Рассмотрим функцию на отрезке $$[0;2]$$:

$$f(x)=-5x^3+x|x-1|.$$

Раскроем модуль по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} x- x^2-5x^3, & 0\le x\le 1,\\ x^2- x-5x^3, & 1\le x\le 2. \end{cases} $$

1) На отрезке $$[0;1]$$:

$$f(x)=x-x^2-5x^3,$$

$$f'(x)=1-2x-15x^2.$$

Найдём критические точки:

$$1-2x-15x^2=0,$$

$$15x^2+2x-1=0.$$

$$D=2^2-4\cdot 15\cdot(-1)=64,$$

$$x=\frac{-2\pm 8}{30}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac15,\qquad x_2=-\frac13.$$

На отрезке $$[0;1]$$ подходит только $$x=\frac15$$.

2) На отрезке $$[1;2]$$:

$$f(x)=x^2-x-5x^3,$$

$$f'(x)=2x-1-15x^2.$$

Решим уравнение:

$$2x-1-15x^2=0,$$

$$15x^2-2x+1=0.$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 15\cdot 1=4-60<0.$$

Значит, на $$[1;2]$$ критических точек нет.

Остаётся проверить значения функции в концах отрезка и в критической точке $$x=\frac15$$:

$$f(0)=-5\cdot 0^3+0\cdot |0-1|=0,$$

$$f\!\left(\frac15\right)=-5\left(\frac15\right)^3+\frac15\left|\frac15-1\right|=-\frac{5}{125}+\frac15\cdot\frac45=\frac{3}{25},$$

$$f(1)=-5\cdot 1^3+1\cdot |1-1|=-5,$$

$$f(2)=-5\cdot 2^3+2\cdot |2-1|=-40+2=-38.$$

Сравниваем значения:

$$\frac{3}{25},\ 0,\ -5,\ -38.$$

Наибольшее значение равно $$\frac{3}{25}$$, наименьшее — $$-38$$.

Ответ

Наибольшее значение: $$\frac{3}{25}$$; наименьшее значение: $$-38$$.