Упр.43.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.28. Докажите неравенство -20?x^3-3x^2?16, где x?[-2; 4].

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3-3x^2.$$

Найдём её производную:

$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$

Критические точки:

$$3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=2.$$

Проверим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2=-8-12=-20,$$

$$f(0)=0^3-3\cdot 0^2=0,$$

$$f(2)=2^3-3\cdot 2^2=8-12=-4,$$

$$f(4)=4^3-3\cdot 4^2=64-48=16.$$

На отрезке $$[-2;4]$$ наименьшее значение функции равно $$-20$$, а наибольшее — $$16$$. Значит, для всех $$x\in[-2;4]$$ выполняется неравенство

$$-20\le x^3-3x^2\le 16.$$

Ответ

$$-20\le x^3-3x^2\le 16,\quad x\in[-2;4].$$