Упр.43.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.27. Завод А расположен на расстоянии 50 км от прямолинейного участка железной дороги, которая ведёт в город В, и на расстоянии 130 км от города В. Под каким углом к железной дороге следует провести шоссе от завода A, чтобы доставка грузов из A в В была самой дешёвой, если стоимость перевозок по шоссе в 2 раза больше, чем по железной дороге?

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ угол между шоссе и железной дорогой в точке $$D$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACD$$

$$AC=50,\qquad \tg x=\frac{AC}{CD},\qquad CD=\frac{50}{\tg x}.$$

Из прямоугольного треугольника $$ABC$$ найдём

$$BC=\sqrt{130^2-50^2}=\sqrt{16900-2500}=\sqrt{14400}=120.$$

Тогда

$$BD=BC-CD=120-\frac{50}{\tg x}.$$

Длина шоссе $$AD$$ выражается так:

$$\sin x=\frac{AC}{AD},\qquad AD=\frac{50}{\sin x}.$$

Стоимость перевозки пропорциональна длине пути, причём по шоссе она в 2 раза больше, чем по железной дороге. Поэтому функция полной стоимости имеет вид

$$S(x)=2AD+BD=\frac{100}{\sin x}+120-\frac{50}{\tg x}.$$

Найдём минимум этой функции:

$$S'(x)=-\frac{100\cos x}{\sin^2 x}+\frac{50}{\sin^2 x}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$-\frac{100\cos x}{\sin^2 x}+\frac{50}{\sin^2 x}=0,$$
$$50-100\cos x=0,$$
$$\cos x=\frac12.$$

Так как $$0<x<90^\circ$$, получаем

$$x=60^\circ.$$