Упр.43.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.26. Пункты А, В и С находятся в вершинах прямоугольного треугольника ABC (?ACB=90°), AC=285 км, BC=60 км. Пункты А и С соединяет железная дорога. В какую точку отрезка АС следует провести грунтовую дорогу из пункта В, чтобы время пребывания в пути от пункта А до пункта В было наименьшим, если известно, что скорость движения по железной дороге равна 52 км/ч, а по грунтовой дороге — 20 км/ч?

Обозначим через $$D$$ точку на отрезке $$AC$$, в которую нужно провести грунтовую дорогу из пункта $$B$$. Пусть $$CD=x$$, тогда $$AD=285-x$$.

Тогда время пути равно

$$ t(x)=\frac{AD}{52}+\frac{BD}{20} =\frac{285-x}{52}+\frac{\sqrt{BC^2+CD^2}}{20} =\frac{285-x}{52}+\frac{\sqrt{3600+x^2}}{20}. $$

Найдём минимум функции $$t(x)$$ на отрезке $$0\le x\le 285$$:

$$ t'(x)=-\frac{1}{52}+\frac{x}{20\sqrt{3600+x^2}}. $$

Приравняем производную к нулю:

$$ -\frac{1}{52}+\frac{x}{20\sqrt{3600+x^2}}=0 $$

$$ \frac{x}{20\sqrt{3600+x^2}}=\frac{1}{52} $$

$$ 52x=20\sqrt{3600+x^2} $$

$$ 169x^2=25(3600+x^2) $$

$$ 169x^2=90000+25x^2 $$

$$ 144x^2=90000 $$

$$ x^2=625,\quad x=25. $$

Так как $$x=CD$$, то точка $$D$$ должна находиться на расстоянии $$25$$ км от пункта $$C$$.

Ответ

Грунтовую дорогу следует провести в точку $$D$$ на отрезке $$AC$$, для которой $$CD=25$$ км.