Упр.43.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.25. На координатной плоскости расположен прямоугольный треугольник ABC (?ABC=90°). Вершина А имеет координаты (-2; 0), вершина В принадлежит отрезку [2; 3] оси абсцисс, а вершина С — параболе y=x^2-4x+1. Какими должны быть координаты точки С, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей?

Пусть $$B(x;0), \quad 2 \le x \le 3.$$

Тогда

$$AB=x-(-2)=x+2,$$

а так как точка $$C$$ лежит на параболе $$y=x^2-4x+1,$$ то её ордината равна $$x^2-4x+1.$$

Высота треугольника к основанию $$AB$$ равна расстоянию от точки $$C$$ до оси абсцисс, то есть

$$BC=-(x^2-4x+1)=4x-x^2-1.$$

Тогда площадь треугольника

$$S(x)=\frac12 \cdot AB \cdot BC=\frac12 (x+2)(4x-x^2-1).$$

Найдём производную:

$$ S'(x)=\frac{(4x-x^2-1)+(x+2)(4-2x)}{2}. $$

Упростим:

$$ S'(x)=\frac{4x-x^2-1-2x^2+8}{2} =\frac{-3x^2+4x+7}{2}. $$

Для максимума площади нужно, чтобы

$$S'(x)=0,$$

то есть

$$-3x^2+4x+7=0,$$

или

$$3x^2-4x-7=0.$$

Найдём корни:

$$ D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-7)=16+84=100, $$

$$ x_{1,2}=\frac{4\pm 10}{6}. $$

Получаем

$$x_1=-1,\quad x_2=\frac73.$$

С учётом условия $$2 \le x \le 3$$ подходит только

$$x=\frac73.$$

Тогда

$$ y=x^2-4x+1=\left(\frac73\right)^2-4\cdot\frac73+1 =\frac{49}{9}-\frac{28}{3}+1 =\frac{49-84+9}{9} =-\frac{26}{9}. $$

Следовательно, точка $$C$$ имеет координаты $$\left(\frac73;-\frac{26}{9}\right).$$

Ответ

$$\left(\frac73;-\frac{26}{9}\right)$$