Упр.43.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.24. Фигура ограничена графиком функции y=vx, прямой y=2 и осью ординат. В какой точке графика функции y=vx (0?x?4) надо провести касательную, чтобы она отсекала от указанной фигуры треугольник наибольшей площади?

Пусть касательная проведена в точке графика $$y=\sqrt{x}$$ с абсциссой $$a$$, где $$0<a<4$$. Тогда точка касания имеет координаты $$\left(a,\sqrt{a}\right)$$.

Найдём уравнение касательной:

$$y’=\frac{1}{2\sqrt{a}},$$

$$y-\sqrt{a}=\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a).$$

Отсюда

$$y=\frac{x+a}{2\sqrt{a}}.$$

Эта касательная пересекает прямую $$y=2$$ в точке с абсциссой $$x$$, где

$$\frac{x+a}{2\sqrt{a}}=2,$$

$$x+a=4\sqrt{a},$$

$$x=4\sqrt{a}-a.$$

Ордината точки пересечения с осью ординат равна

$$y=\frac{a}{2\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{2}.$$

Тогда площадь отсечённого треугольника:

$$S(a)=\frac12 \cdot x \cdot \left(2-\frac{\sqrt{a}}{2}\right).$$

Подставим $$x=4\sqrt{a}-a$$:

$$S(a)=\frac12(4\sqrt{a}-a)\left(2-\frac{\sqrt{a}}{2}\right).$$

Упростим:

$$S(a)=4\sqrt{a}-2a+\frac{a\sqrt{a}}{4}.$$

Найдём производную:

$$S'(a)=\frac{2}{\sqrt{a}}-2+\frac{3}{8}\sqrt{a}.$$

Приравняем к нулю:

$$\frac{2}{\sqrt{a}}-2+\frac{3}{8}\sqrt{a}=0.$$

Положим $$t=\sqrt{a}$$, тогда

$$\frac{2}{t}-2+\frac{3}{8}t=0,$$

$$16-16t+3t^2=0,$$

$$3t^2-16t+16=0.$$

$$D=16^2-4\cdot 3\cdot 16=64,$$

$$t=\frac{16\pm 8}{6}.$$

Получаем $$t_1=\frac43$$ и $$t_2=4$$. Значение $$t=4$$ соответствует границе $$a=16$$, поэтому для внутренней точки берём

$$\sqrt{a}=\frac43,$$

$$a=\frac{16}{9}.$$

Тогда

$$y=\sqrt{a}=\frac43.$$

Ответ

$$\left(\frac{16}{9},\frac{4}{3}\right)$$