Упр.43.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.23. На окружности радиусом R отметили точку А. На каком расстоянии от точки А надо провести хорду BC, параллельную касательной в точке А, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей?

Обозначим через $$x$$ расстояние от точки $$A$$ до хорды $$BC$$, то есть $$AH=x$$. Тогда

$$OH=OA-AH=R-x.$$

Так как $$BC$$ параллельна касательной в точке $$A$$, то $$AH \perp BC$$, и площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S(x)=\frac12 \cdot BC \cdot AH.$$

Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $$R$$ получаем

$$BH=\sqrt{R^2-(R-x)^2}=\sqrt{2Rx-x^2}.$$

Тогда

$$BC=2BH=2\sqrt{2Rx-x^2},$$

и значит

$$S(x)=\frac12 \cdot 2\sqrt{2Rx-x^2}\cdot x=x\sqrt{2Rx-x^2}.$$

Найдём максимум функции $$S(x)$$. Достаточно рассмотреть квадрат площади:

$$S^2(x)=x^2(2Rx-x^2)=2Rx^3-x^4.$$

Тогда

$$\bigl(S^2(x)\bigr)’=6Rx^2-4x^3=2x^2(3R-2x).$$

При $$x>0$$ максимум достигается при

$$3R-2x=0,$$

откуда

$$x=\frac{3R}{2}.$$

Значит, хорду нужно провести на расстоянии $$\frac{3R}{2}$$ от точки $$A$$.

Ответ

$$\frac{3R}{2}$$