Упр.43.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.22. Каким должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанной в этот треугольник окружности был наибольшим?

Пусть угол при основании равнобедренного треугольника равен $$x$$. Тогда угол при вершине равен $$\pi-2x$$.

Обозначим радиус вписанной окружности через $$r$$, а площадь треугольника — через $$S$$. Для любого треугольника

$$S=pr,$$

где $$p$$ — полупериметр. Значит, при фиксированной площади $$S$$ нужно максимизировать радиус $$r$$, то есть минимизировать полупериметр.

Пусть боковые стороны равны $$a$$, основание — $$b$$. Тогда

$$S=\frac12 ab\sin x,$$

а также

$$b=2a\cos x.$$

Подставим это в формулу площади:

$$S=\frac12 a\cdot 2a\cos x\cdot \sin x=a^2\sin x\cos x.$$

Отсюда

$$a^2=\frac{S}{\sin x\cos x}.$$

Полупериметр равен

$$p=\frac{2a+b}{2}=a+a\cos x=a(1+\cos x).$$

Тогда

$$r=\frac{S}{p}=\frac{S}{a(1+\cos x)}.$$

После подстановки $$a=\sqrt{\dfrac{S}{\sin x\cos x}}$$ получаем, что максимизация $$r$$ сводится к максимизации выражения

$$\sin x\cos x(1+\cos x)^2.$$

Удобнее рассмотреть производную соответствующей функции. В результате получается, что максимум достигается при

$$\cos x=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{3}.$$

Тогда угол при вершине равен

$$\pi-2\cdot \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}.$$

Значит, наибольший радиус вписанной окружности будет у равностороннего треугольника.

Ответ

$$\frac{\pi}{3}$$