Упр.43.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.21. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиусом r. Каким должен быть угол при основании треугольника, чтобы его площадь была наименьшей?

Пусть угол при основании равен $$x$$. Тогда в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, проходит через центр вписанной окружности, поэтому

$$OH=r.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOH$$. Так как $$\angle A=x$$, то

$$\angle OAH=\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$\tg \frac{x}{2}=\frac{OH}{AH}, \qquad AH=\frac{OH}{\tg \frac{x}{2}}=\frac{r}{\tg \frac{x}{2}}.$$

Из прямоугольного треугольника $$ABH$$ имеем

$$\tg x=\frac{BH}{AH}, \qquad BH=AH \tg x=\frac{r}{\tg \frac{x}{2}}\tg x.$$

Площадь треугольника:

$$S(x)=\frac12 AC\cdot BH.$$

Так как $$AC=2AH$$, то

$$S(x)=AH\cdot BH=\frac{r}{\tg \frac{x}{2}}\cdot \frac{r}{\tg \frac{x}{2}}\tg x=\frac{r^2\tg x}{\tg^2 \frac{x}{2}}.$$

Используем формулу

$$\tg x=\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1-\tg^2 \frac{x}{2}}.$$

Тогда

$$S(x)=\frac{2r^2}{\tg \frac{x}{2}\left(1-\tg^2 \frac{x}{2}\right)}.$$

Чтобы площадь была наименьшей, достаточно минимизировать выражение

$$\frac{\tg \frac{x}{2}}{1-\tg^2 \frac{x}{2}}.$$

Обозначим $$t=\tg \frac{x}{2}$$, где $$0<t<1$$. Тогда

$$S(x)\sim \frac{1}{t(1-t^2)}.$$

Минимум площади достигается при симметричном случае, когда треугольник равносторонний, то есть

$$x=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{3}$$