Упр.43.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиусом $$r$$. Каким должен быть угол при основании треугольника, чтобы его площадь была наименьшей?

Обозначим угол при основании равнобедренного треугольника через $$x$$. Тогда высота, опущенная к основанию, проходит через центр вписанной окружности, и

$$OH=r,\qquad \angle A=x,\qquad \angle OAH=\frac{x}{2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$OAH$$ получаем

$$\tg\frac{x}{2}=\frac{OH}{AH},\qquad AH=\frac{OH}{\tg\frac{x}{2}}=\frac{r}{\tg\frac{x}{2}}.$$

Из прямоугольного треугольника $$ABH$$:

$$\tg x=\frac{BH}{AH},\qquad BH=AH\cdot\tg x=\frac{r}{\tg\frac{x}{2}}\cdot\tg x.$$

Тогда площадь треугольника

$$S(x)=\frac12 AC\cdot BH=\frac{r}{\tg\frac{x}{2}}\cdot \frac{r}{\tg\frac{x}{2}}\cdot \tg x=\frac{r^2\tg x}{\tg^2\frac{x}{2}}.$$

Найдём, при каком $$x$$ площадь минимальна. Для этого достаточно исследовать производную:

$$S'(x)=\frac{r^2}{\tg^4\frac{x}{2}}\left(\frac{\tg^2\frac{x}{2}}{\cos^2 x}-\frac12\cdot\frac{2\tg\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}\cdot\tg x\right)\ge 0.$$

После преобразований получаем

$$\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{2}{\cos x}\ge 0,$$

откуда

$$1-2\cos x\ge 0,\qquad \cos x\le \frac12.$$

Так как $$x$$ — угол треугольника, то $$0<x<\frac{\pi}{2}$$, значит

$$x\ge \frac{\pi}{3}.$$

Минимум площади достигается при

$$x=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{3}$$.