Упр.43.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.20. В трапеции меньшее основание и боковые стороны равны а. Найдите большее основание трапеции, при котором её площадь принимает наибольшее значение.

Обозначим через $$x$$ отрезок $$AH$$, где $$H$$ — основание высоты трапеции. Тогда

$$AD=AH+HD=x+x+a=2x+a,$$

так как боковые стороны равны $$a$$, а в прямоугольном треугольнике $$ABH$$ имеем

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{a^2-x^2}.$$

Площадь трапеции:

$$S(x)=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH.$$

Так как $$BC=a$$, получаем

$$S(x)=\frac{2x+a+a}{2}\cdot \sqrt{a^2-x^2}=(x+a)\sqrt{a^2-x^2}.$$

Найдём, при каком $$x$$ площадь максимальна:

$$S'(x)=\sqrt{a^2-x^2}-\frac{x(x+a)}{\sqrt{a^2-x^2}}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\sqrt{a^2-x^2}-\frac{x(x+a)}{\sqrt{a^2-x^2}}=0,$$

$$a^2-x^2-x(x+a)=0,$$

$$2x^2+ax-a^2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=a^2+8a^2=9a^2,$$

$$x=\frac{-a\pm 3a}{4}.$$

Получаем

$$x_1=-a,\qquad x_2=\frac{a}{2}.$$

Так как $$x\ge 0$$, подходит только $$x=\frac{a}{2}$$. Тогда большее основание трапеции равно

$$AD=2x+a=2\cdot \frac{a}{2}+a=2a.$$

Ответ

$$2a$$