Упр.43 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Решите неравенство:
1) $$\sqrt{3x-x^2}<4-x$$;
3) $$\sqrt{2-x}>x$$;
2) $$\sqrt{x^2+3x+3}<2x+1$$;
4) $$\sqrt{x^2-1}>x$$.

Подробный ответ

1) $$\sqrt{3x-x^2}<4-x$$

Так как левая часть неотрицательна, то необходимо $$4-x>0,$$ то есть $$x<4.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$3x-x^2<(4-x)^2$$

$$3x-x^2<16-8x+x^2$$

$$2x^2-11x+16>0.$$

Дискриминант:

$$D=(-11)^2-4\cdot 2\cdot 16=121-128=-7<0.$$

Так как старший коэффициент положительный, то $$2x^2-11x+16>0$$ при всех $$x.$$

Остаётся учесть область определения:

$$3x-x^2\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x(3-x)\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; 0\le x\le 3.$$

Следовательно, $$x\in[0;3].$$

2) $$\sqrt{x^2+3x+3}<2x+1$$

Необходимо, чтобы правая часть была положительной:

$$2x+1>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x>-\frac12.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2+3x+3<(2x+1)^2$$

$$x^2+3x+3<4x^2+4x+1$$

$$3x^2+x-2>0.$$

Найдём корни:

$$D=1+24=25,$$

$$x_1=\frac{-1-5}{6}=-1,\qquad x_2=\frac{-1+5}{6}=\frac23.$$

Тогда

$$3x^2+x-2>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x<-1 \;\text{ или }\; x>\frac23.$$

С учётом условия $$x>-\frac12$$ получаем:

$$x\in\left(\frac23;+\infty\right).$$

3) $$\sqrt{2-x}>x$$

Так как левая часть неотрицательна, при $$x<0$$ неравенство выполняется автоматически, если выполнена область определения. Но удобнее решить через возведение в квадрат при условии $$x<\sqrt{2-x}.$$

Сначала область определения:

$$2-x\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\le 2.$$

Если $$x\ge 0,$$ то можно возвести в квадрат:

$$2-x>x^2$$

$$x^2+x-2<0$$

$$(x+2)(x-1)<0 \;\;\Longrightarrow\;\; -2<x<1.$$

С учётом $$x\le 2$$ получаем тот же промежуток:

$$x\in(-2;1).$$

При $$x<0$$ это решение также входит в найденный промежуток, поэтому итог:

$$x\in(-2;1).$$

4) $$\sqrt{x^2-1}>x$$

Область определения: