Упр.43.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f$$ на указанном отрезке:
   1) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x$$, $$[0;3]$$;
   3) $$f(x)=2x^4-8x$$, $$[-2;1]$$;
   2) $$f(x)=x-1-x^3-x^2$$, $$[-2;0]$$;
   4) $$f(x)=\frac{x^4}{4}-8x^2$$, $$[-1;2]$$.

Найдём значения функции в критических точках и на концах отрезка.

1. $$f(x)=\frac13x^3-4x,\quad [0;3]$$

   $$f'(x)=x^2-4$$

   $$x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm2$$

   На отрезке $$[0;3]$$ подходит только $$x=2$$.

   Вычислим значения функции:

   $$f(0)=0$$

   $$f(2)=\frac13\cdot 8-8=\frac83-8=-\frac{16}{3}$$

   $$f(3)=\frac13\cdot 27-12=9-12=-3$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$0$$, наименьшее — $$-\frac{16}{3}$$.

2. $$f(x)=x-1-x^3-x^2,\quad [-2;0]$$

   $$f'(x)=1-3x^2-2x=-(3x^2+2x-1)$$

   $$3x^2+2x-1=0$$

   $$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16$$

   $$x=\frac{-2\pm 4}{6}$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac13$$

   На отрезке $$[-2;0]$$ подходит только $$x=-1$$.

   Вычислим значения функции:

   $$f(-2)=-2-1+8-4=1$$

   $$f(-1)=-1-1+1-1=-2$$

   $$f(0)=0-1-0-0=-1$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$1$$, наименьшее — $$-2$$.

3. $$f(x)=2x^4-8x,\quad [-2;1]$$

   $$f'(x)=8x^3-8=8(x^3-1)$$

   $$x^3-1=0 \Rightarrow x=1$$

   Вычислим значения функции:

   $$f(-2)=2\cdot 16+16=48$$

   $$f(1)=2-8=-6$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$48$$, наименьшее — $$-6$$.

4. $$f(x)=\frac{x^4}{4}-8x^2,\quad [-1;2]$$

   $$f'(x)=x^3-16x=x(x^2-16)$$

   $$x(x^2-16)=0 \Rightarrow x=0,\pm4$$

   На отрезке $$[-1;2]$$ подходит только $$x=0$$.

   Вычислим значения функции:

   $$f(-1)=\frac14-8=-\frac{31}{4}$$

   $$f(0)=0$$

   $$f(2)=\frac{16}{4}-8\cdot 4=4-32=-28$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$0$$, наименьшее — $$-28$$.

Ответ: 1) $$0$$; $$-\frac{16}{3}$$; 2) $$1$$; $$-2$$; 3) $$48$$; $$-6$$; 4) $$0$$; $$-28$$.