Упр.43.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.19. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Какой должна быть длина основания треугольника, чтобы его площадь принимала наибольшее возможное значение?

Подробный ответ

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $$x$$ см, а боковые стороны — по $$\frac{48-x}{2}$$ см.

Опустим высоту к основанию. Она делит основание пополам, значит

$$HC=\frac{x}{2}.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$BH=\sqrt{\left(\frac{48-x}{2}\right)^2-\left(\frac{x}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(48-x)^2-x^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2304-96x}.$$

Площадь треугольника:

$$S(x)=\frac{1}{2}\cdot x \cdot BH=\frac{x}{4}\sqrt{2304-96x}.$$

Найдём, при каком $$x$$ площадь максимальна. Достаточно максимизировать квадрат площади:

$$S^2(x)=\frac{x^2}{16}(2304-96x)=\frac{96}{16}x^2(24-x).$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2(24-x)$$ при $$0<x<24$$.

$$f'(x)=2x(24-x)-x^2=48x-3x^2=3x(16-x).$$