Упр.43.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 43.18. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции y=0,5x^2, D(y)=[-3v2; 3v2], а две другие — прямой y=9. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Подробный ответ

Пусть абсциссы верхних вершин прямоугольника равны $$x$$ и $$-x$$. Тогда нижние вершины лежат на параболе $$y=0{,}5x^2$$, а верхние — на прямой $$y=9$$.

Ширина прямоугольника равна $$2x$$, а его высота:

$$9-0{,}5x^2.$$

Тогда площадь прямоугольника

$$S(x)=2x(9-0{,}5x^2)=18x-x^3,$$

где $$x\in[0;\,3\sqrt2]$$.

Найдём максимум функции:

$$S'(x)=18-3x^2=3(6-x^2).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$3(6-x^2)=0 \quad \Rightarrow \quad x^2=6 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt6.$$

Это значение принадлежит области допустимых значений, значит, именно при нём площадь максимальна.

Вычислим площадь:

$$S_{\max}=S(\sqrt6)=18\sqrt6-(\sqrt6)^3=18\sqrt6-6\sqrt6=12\sqrt6.$$